Построить график в пространстве онлайн: Построить трехмерный график онлайн

sage: L = [[-1+cos(pi*i/100)*(1+cos(pi*i/100)),
....:     2*sin(pi*i/100)*(1-cos(pi*i/100))] for i in range(200)]
sage: p = polygon(L, rgbcolor=(1/8,3/4,1/2))
sage: p
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

Напечатайте show(p, axes=false), чтобы не показывать осей на графике.

Можно добавить текст на график:

sage: L = [[6*cos(pi*i/100)+5*cos((6/2)*pi*i/100),
....:     6*sin(pi*i/100)-5*sin((6/2)*pi*i/100)] for i in range(200)]
sage: p = polygon(L, rgbcolor=(1/8,1/4,1/2))
sage: t = text("hypotrochoid", (5,4), rgbcolor=(1,0,0))
sage: show(p+t)

Учителя математики часто рисуют следующий график на доске: не одну ветвь arcsin, а несколько, т. е. график функции \(y=\sin(x)\) для \(x\) между \(-2\pi\) и \(2\pi\), перевернутый по отношению к линии в 45 градусов. Следующая команда Sage построит вышеуказанное:

sage: v = [(sin(x),x) for x in srange(-2*float(pi),2*float(pi),0.1)]
sage: line(v)
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

Так как функция тангенса имеет больший интервал, чем синус, при использовании той же техники для перевертывания тангенса требуется изменить минимальное и максимальное значения координат для оси x:

sage: v = [(tan(x),x) for x in srange(-2*float(pi),2*float(pi),0.01)]
sage: show(line(v), xmin=-20, xmax=20)

Sage также может строить графики в полярных координатах, контурные построения и изображения векторных полей (для специальных видов функций). Далее следует пример контурного чертежа:

sage: f = lambda x,y: cos(x*y)
sage: contour_plot(f, (-4, 4), (-4, 4))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

Трехмерные графики

Sage также может быть использован для создания трехмерных графиков.

Онлайн калькулятор: Системы координат в пространстве

Этот калькулятор предназначен для преобразования координат в пространстве, заданных в трех системах:

• Прямоугольной (декартовой)
• Цилиндрической
• Сферической
  Прямоугольная, цилиндрическая и сферическая системы координат

Прямоугольная система координат

Определяет точку в пространстве при помощи трех чисел : x, y, z. Каждое число соответствует длине кратчайшего отрезка, проложенного параллельно одноименной оси координат до плоскости, образованной другими осями координат. Длина берется со знаком минус, если точка находится со стороны отрицательных значений шкалы координат.

Цилндрическая система координат

Определяет точку в пространстве при помощи радиуса r, угла азимута φ, и высоты z. Высота z соответствует координате z в прямоугольной системе координат. Радиус r - всегда неотрицательное число, задающее минимальное расстояние от точки в пространстве до оси z. Азимутальный угол φ - значение в диапазоне 0 ..360 градусов - определяет угол, между положительной полуосью x и радиусом, проложенным через проекцию точки на плоскость, образованную осями x и y.

Сферическая система координат

Прямоугольные координаты в пространстве

Знаков после запятой: 2

Цилиндрические координаты

Азимут (φ), градусы

Сферические координаты

Азимут (φ), градусы

Полярный угол (θ), градусы

content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет

Формулы преобразования декартовых координат

Радиус в цилиндрической системе:

Радиус в сферической системе:

Азимут:
, см Арктангенс с двумя аргументами

Полярный угол:

Цилиндрические координаты

Знаков после запятой: 2

Прямоугольные координаты

Сферические координаты

Азимут (φ), градусы

Полярный угол (θ), градусы

content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет

Формулы преобразования цилиндрических координат

Декартовы координаты:
,

Радиус в сферической системе:

Полярный угол:
, см Арктангенс с двумя аргументами

Сферические координаты

Знаков после запятой: 2

Прямоугольные координаты

Цилиндрические координаты

Азимут (φ), градусы

content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет

Формулы преобразования сферических координат

Декартовы координаты:
,
,

Радиус в цилиндрической системе:

Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.

Векторы представляют собой особый раздел аналитической геометрии, который в том числе оказал значительное влияние на развитие физики. Сам по себе вектор выглядит как отрезок, который имеет начало и имеет конец, определен заданной конечными точками длиной этого отрезка. Но внутри вектора кроется множество других скрытых функций, за счет того что вектор задает направление. Поэтому если для отрезка не имеет значения какая точка названа началом, а какая концом, и чаще просто применяется принцип чтения «слева направо», то для векторов AB и BA – это диаметрально противоположные понятия.

Итак, в векторе присутствует две важных составляющих – это его длина и направление. Тем не менее, координатами вектора задается не его фактическая длина, а местоположение на плоскости или в пространстве. Поэтому длина вектора, иначе называемая модуль вектора, вычисляется, используя прямоугольный треугольник с осями координат. Дальнейшие действия с вектором также чаще используют именно его координаты, нежели фактическую длину. Работе с векторами можно провести аналогию с целыми числами, - как только появляются отрицательные числа на числовой оси, приходится не только считать значение примера, но и все время обращать внимание на знаки. Так и с векторами, во всех действиях – будь то сложение, вычитание, умножение скалярное или векторное и другие действия, приходится не только учитывать реальные масштабы вектора – координаты, длина или угол, но и принимать в расчет его направление. К слову, направления векторов также находят отражение в знаках – обратный изначальному вектор всегда будет со знаком «минус».

В данном разделе разложены все основные действия с векторами, такие как нахождение длины вектора, координат вектора, сложение векторов, вычитание векторов, скалярное произведение векторов, векторное произведение векторов, смешанное произведение трех векторов, вычисление угла между векторами и другие. Все расчет можно произвести для векторов на плоскости или для векторов в пространстве. Также доступен векторный калькулятор, который вычисляет все возможные параметры одного и более векторов, с заданными координатами точек вектора.

Пузырьковая диаграмма (Bubble Chart)

Большинство из тех, кто хоть раз строил графики в Microsoft Excel или PowerPoint, замечали необычный и забавный тип диаграмм - пузырьковые (bubble chart). Многие видели их в чужих файлах или презентациях. Однако, в 99 случаев из 100, при попытке самостоятельно построить такую диаграмму впервые, пользователи сталкиваются с рядом неочевидных сложностей. Обычно Excel или отказывается ее создавать вообще, или создает, но совершенно непонятного вида, без подписей и наглядности.

Давайте разберемся в этой теме.

Что такое пузырьковая диаграмма

Пузырьковая диаграмма - это специфический тип диаграмм, способных отображать трехмерные данные в двумерном пространстве. Рассмотрим для примера вот такую диаграмму, отображающую статистику по странам с известного сайта-конструктора диаграмм http://www.gapminder.org/ :

Скачать полноразмерный PDF можно отсюда http://www.gapminder.org/downloads/gapminder-world-map/

По горизонтальной оси Х откладывается средний годовой доход на душу населения в USD. По вертикальной оси Y откладывается средняя продолжительность жизни в годах. Размер же (диаметр или площадь) каждого пузырька пропорционален населению каждой страны. Таким образом, на одной плоской диаграмме удается отобразить трехмерную информацию.

Дополнительную информационную нагрузку несет еще и цвет, отображающий региональную принадлежность каждой страны к определенному континенту.

Как построить пузырьковую диаграмму в Excel

Самый важный момент при построении пузырьковой диаграммы - правильно подготовленная таблица с исходными данными. А именно - таблица должна состоять строго из трех столбцов в следующем порядке (слева-направо):

1. Параметр для откладывания по оси Х
2. Параметр для откладывания по оси Y
3. Параметр, определяющий размер пузырька

Возьмем для примера вот такую таблицу с данными по игровым приставкам:

Чтобы построить по ней пузырьковую диаграмму, нужно выделить диапазон C3:E8 (строго - только оранжевые и серые ячейки без столбца с названиями) и затем:

• В Excel 2007/2010 - перейти на вкладку Вставка - группа Диаграммы - Другие - Пузырьковая (Insert - Chart - Bubble)
• В Excel 2003 и старше - выбрать в меню Вставка - Диаграмма - Пузырьковая (Insert - Chart - Bubble)

Получившаяся в итоге диаграмма будет отображать быстродействие приставок по оси X, число программ для них по оси Y и долю рынка, занимаемого каждой приставкой - как размер пузырька:

После создания пузырьковой диаграммы имеет смысл настроить подписи к осям - без названий осей трудно понять, что по какой из них откладывается. В Excel 2007/2010 это можно сделать на вкладке Макет (Layout), а в старых версиях Excel - щелкнув по диаграмме правой кнопкой мыши и выбрав команду Параметры диаграммы (Chart options) - вкладка Заголовки (Titles).

К сожалению, Excel не позволяет автоматически привязывать цвет пузырьков к исходным данным (как в примере выше со странами), но для наглядности можно быстро отформатировать все пузырьки в разные цвета. Для этого щелкните правой кнопкой мыши на любом пузырьке, выберите команду Формат ряда данных (Format series) из контекстного меню и включите опцию Разноцветные точки (Vary colors).

Проблема с подписями

Общей трудностью, с которой сталкиваются абсолютно все пользователи при построении пузырьковых (и точечных, кстати, тоже) диаграмм, являются подписи к пузырькам. Стандартными средствами Excel можно вывести в качестве подписей только значения X, Y, размер пузырька или называние ряда (общее для всех). Если вспомнить что при построении пузырьковой диаграммы вы не выделяли столбец с подписями, а только три столбца с данными X, Y и размер пузырьков, то все оказывается в общем-то логично: то, что не выделено - в диаграмму само никак попасть не может.

Решить проблему подписей можно тремя путями:

Способ 1. Вручную

Вручную переименовывать (менять) подписи для каждого пузырька. Можно просто щелкнуть мышью по контейнеру с подписью и ввести с клавиатуры новое название вместо старого. Очевидно, что при большом количестве пузырьков этот способ начинает напоминать мазохизм.

Способ 2. Надстройка XYChartLabeler

Нетрудно предположить, что с подобной проблемой до нас с вами сталкивались и другие пользователи Excel. И один из них, а именно легендарный Rob Bovey (дай бог ему здоровья) написал и выложил в открытый доступ бесплатную надстройку XYChartLabeler, добавляющую в Excel эту недостающую функцию.

Скачать надстройку можно здесь http://appspro.com/Utilities/ChartLabeler.htm

После установки у вас появится новая вкладка (в старых версиях Excel - панель инструментов) XY Chart Labels:

Выделив пузырьки и воспользовавшись кнопкой Add Labels можно быстро и удобно добавить подписи сразу ко всем пузырькам в диаграмме, просто задав диапазон ячеек с текстом для подписей:

Способ 3. Excel 2013

В новой версии Microsoft Excel 2013 появилась наконец-таки возможность добавлять подписи к элементам данных диаграммы из любых произвольно выделенных ячеек. Дождались 🙂

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Сумма векторов:

Разность векторов:

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Для точки M:

То есть A + C + D = 0.

Для точки N:

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Упростим систему:

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать "параллелепипед".

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA₁ = √3

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор  или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Линия пересечения плоскостей онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти линию пересечения плоскостей. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения уравнения линии пересечения плоскостей введите коэффициенты в уравнения плоскостей и нажимайте на кнопку "Решить". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Линия пересечения плоскостей − теория, примеры и решения

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными, могут совпадать или пересекаться. В данной статье мы определим взаимное расположение двух плоскостей, и если эти плоскости пересекаются, выведем уравнение линии пересечения плоскостей.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы плоскости α₁ и α₂:

где n₁={A₁, B₁, C₁} и n₂={A₂, B₂, C₂} − нормальные векторы плоскостей α₁ и α₂, соответственно.

Найдем уравнение линии пересеченя плоскостей α₁ и α₂. Для этого рассмотрим следующие случаи:

1. Нормальные векторы n₁ и n₂ плоскостей α₁ и α₂ коллинеарны (Рис.1).

Поскольку векторы n₁ и n₂ коллинеарны, то существует такое число λ≠0, что выполнено равенство n₁=λn₂, т.е. A₁=λA₂, B₁=λB₂, C₁=λC₂.

Умножив уравнение (2) на λ, получим:

Если выполненио равенство D₁=λD₂, то плоскости α₁ и α₂ совпадают, если же D₁≠λD₂то плоскости α₁ и α₂ параллельны, то есть не пересекаются.

2. Нормальные векторы n₁ и n₂ плоскостей α₁ и α₂ не коллинеарны (Рис.2).

Если векторы n₁ и n₂ не коллинеарны, то решим систему линейных уравнений (1) и (2). Для этого переведем свободные члены на правую сторону уравнений и составим соответствующее матричное уравнение:

Как решить уравнение (4) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн или Метод Жоржана-Гаусса онлайн.

Так как в системе линейных уравнений (4) векторы n₁={A₁, B₁, C₁} и n₂={A₂, B₂, C₂} не коллинеарны, то решение этой системы линейных уравнений имеет следующий вид:

где x₀, y₀, z₀, m, p, l действительные числа, а t − переменная.

Равенство (5) можно записать в следующем виде:

Мы получили параметрическое уравнение прямой, которое является линией пересечения плоскостей α₁ и α₂. Полученное уравнение прямой можно записать в каноническом виде:

Пример 1. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

Решение. Определим, сначала, взаимное расположение данных плоскостей. Плоскость α₁ имеет нормальный вектор n₁={A₁, B₁, C₁}={1, 2, 1}. Плоскость α₂ имеет нормальный вектор n₂={A₂, B₂, C₂}={2, 9, −5}.

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ неколлинеарны, то плолскости α₁ и α₂ пересекаются.

Для нахождения линии пересечения влоскостей α₁ и α₂ нужно решить систему линейных уравнений (7) и (8). Для этого составим матричное уравнение этой системы:

Решим систему линейных уравнений (9) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a₁₁. Для этого сложим строку 2 со строкой 1, умноженной на −2:

Второй этап. Обратный ход Гаусса.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a₂₂. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на −2/5:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Получим решение:

где t− произвольное действительное число.

Запишем (11) в следующем виде:

Получили уравнение линии пересечения плоскостей α₁ и α₂ в параметрическом виде. Запишем ее в каноническом виде.

Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:

Ответ. Уравнение линии пересечения плоскостей α₁ и α₂имеет вид:

Пример 2. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

Решение. Определим, сначала, взаимное расположение данных плоскостей. Плоскость α₁ имеет нормальный вектор n₁={A₁, B₁, C₁}={1, 2, 7}. Плоскость α₂ имеет нормальный вектор n₂={A₂, B₂, C₂}={2, 4, 14}.

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ коллинеарны (n₁ можно получить умножением n₂ на число 1/2), то плоскости α₁ и α₂ параллельны или совпадают.

При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α₂ умножив на число 1/2:

Так как нормальные векторы уравнений (14) и (16) совпадают, а свободные члены разные, то плоскости α₁ и α₂ не совпадают. Следовательно они параллельны, т.е. не пересекаются.

Пример 3. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

Решение. Определим, сначала, взаимное расположение данных плоскостей. Плоскость α₁ имеет нормальный вектор n₁={A₁, B₁, C₁}={5, −2, 3}. Плоскость α₂ имеет нормальный вектор n₂={A₂, B₂, C₂}={15, −6, 9}.

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ коллинеарны (n₁ можно получить умножением n₂ на число 1/3), то плоскости α₁ и α₂ параллельны или совпадают.

При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α₂ умножив на число 1/3:

Так как нормальные векторы уравнений (17) и (19) совпадают, и свободные члены равны, то плоскости α₁ и α₂ совпадают.

Справка в Интернете - Учебники - Основы трехмерного построения

Как построить диаграмму рассеяния в Excel

В этом руководстве вы узнаете, как построить диаграмму рассеяния в Excel для создания графического представления двух коррелированных наборов данных.

Что вы видите при просмотре двух столбцов количественных данных в электронной таблице Excel? Всего два набора цифр. Вы хотите увидеть, как эти два набора связаны друг с другом? Диаграмма рассеяния - идеальный выбор для этого.

Точечная диаграмма в Excel

Диаграмма рассеяния (также называемая диаграммой рассеяния XY или диаграммой рассеяния ) - это двухмерная диаграмма, которая показывает взаимосвязь между двумя переменными.

На точечной диаграмме и горизонтальная, и вертикальная оси представляют собой оси значений, на которых отображаются числовые данные.Обычно независимая переменная находится на оси x, а зависимая переменная - на оси y. На диаграмме отображаются значения на пересечении осей x и y, объединенные в отдельные точки данных.

Основная цель диаграммы разброса - показать, насколько сильна связь или корреляция между двумя переменными. Чем плотнее точки данных располагаются вдоль прямой линии, тем выше корреляция.

Как расположить данные для точечной диаграммы

Благодаря множеству встроенных шаблонов диаграмм, предоставляемых Excel, создание точечной диаграммы превращается в парочку щелчков мышью. Но сначала вам нужно правильно расположить исходные данные.

Как уже упоминалось, точечный график отображает две взаимосвязанные количественные переменные. Итак, вы вводите два набора числовых данных в два отдельных столбца.

Для простоты использования независимая переменная должна находиться в левом столбце , так как этот столбец будет нанесен на ось x. Зависимая переменная (та, на которую влияет независимая переменная) должна находиться в правом столбце , и она будет нанесена на ось y.

В нашем примере мы собираемся визуализировать взаимосвязь между рекламным бюджетом за определенный месяц (независимая переменная) и количеством проданных товаров (зависимая переменная), поэтому мы располагаем данные соответствующим образом:

Как создать диаграмму рассеяния в Excel

Если исходные данные правильно организованы, то для построения диаграммы рассеяния в Excel необходимо выполнить два быстрых шага:

1. Выберите два столбца с числовыми данными, включая заголовки столбцов. В нашем случае это диапазон C1: D13. Не выбирайте другие столбцы, чтобы не запутать Excel.
2. Перейдите на вкладку Inset > группа Chats , щелкните значок диаграммы Scatter и выберите нужный шаблон. Чтобы вставить классический точечный график, щелкните первую миниатюру:

Диаграмма рассеяния будет немедленно вставлена ​​в ваш рабочий лист:

В принципе можно считать проделанную работу. Или вы можете настроить некоторые элементы вашего графика, чтобы он выглядел более красивым и более четко передавал корреляцию между двумя переменными.

Типы точечных диаграмм

Помимо классической диаграммы рассеяния, показанной в приведенном выше примере, доступно еще несколько шаблонов:

• Scatter с плавными линиями и маркерами
• Скаттер с плавными линиями
• Скаттер с прямыми линиями и маркерами
• Скаттер с прямыми линиями

Scatter с линиями лучше всего использовать, когда у вас мало точек данных. Например, вот как вы можете представить данные за первые четыре месяца с помощью диаграммы разброса с плавными линиями и маркерами:

Шаблоны графиков Excel XY также могут рисовать каждой переменной по отдельности , представляя одни и те же отношения по-разному.Для этого следует выбрать 3 столбца с данными - крайний левый столбец с текстовыми значениями (метками) и два столбца с числами.

В нашем примере синие точки обозначают стоимость рекламы, а оранжевые точки обозначают проданные товары:

Чтобы просмотреть все доступные типы разброса в одном месте, выберите данные, щелкните значок разброс (X, Y) на ленте, а затем щелкните Дополнительные диаграммы разброса… Откроется диалоговое окно Inset Chart с выбран тип XY (Scatter) , и вы переключаетесь между различными шаблонами вверху, чтобы увидеть, какой из них обеспечивает наилучшее графическое представление ваших данных:

Трехмерная диаграмма рассеяния

В отличие от классической диаграммы рассеяния XY, трехмерная диаграмма рассеяния отображает точки данных по трем осям (x, y и z), чтобы показать взаимосвязь между тремя переменными. Поэтому его часто называют графиком XYZ .

К сожалению, невозможно создать трехмерную диаграмму рассеяния в Excel даже в новой версии Excel 2019. Если вам очень нужен этот тип диаграммы для анализа данных, рассмотрите возможность использования стороннего инструмента, например plot.ly. На приведенном ниже снимке экрана показано, какой вид трехмерной диаграммы разброса может нарисовать этот инструмент:

Точечный график и корреляция

Чтобы правильно интерпретировать диаграмму рассеяния, необходимо понимать, как переменные могут соотноситься друг с другом.Всего существует три типа корреляции:

Положительная корреляция - по мере увеличения переменной x увеличивается и переменная y. Примером сильной положительной корреляции является количество времени, которое студенты проводят за учебой, и их оценки.

Отрицательная корреляция - по мере увеличения переменной x переменная y уменьшается. Отказ от уроков и оценок отрицательно коррелирован - по мере увеличения количества пропусков экзаменационные баллы снижаются.

Нет корреляции - нет очевидной взаимосвязи между двумя переменными; точки разбросаны по всей области диаграммы.Например, кажется, что между ростом и оценками учащихся нет никакой корреляции, поскольку первое никак не влияет на вторые.

Настройка диаграммы рассеяния XY в Excel

Как и в случае с другими типами диаграмм, почти каждый элемент точечной диаграммы в Excel можно настроить. Вы можете легко изменить заголовок диаграммы, добавить заголовки осей, скрыть линии сетки, выбрать собственные цвета диаграммы и многое другое.

Ниже мы сосредоточимся на нескольких настройках, специфичных для точечной диаграммы.

Отрегулируйте масштаб оси (уменьшите пустое пространство)

Если точки данных сгруппированы вверху, внизу, справа или слева от графика, вы можете убрать лишнее пустое пространство.

Чтобы уменьшить расстояние между первой точкой данных и вертикальной осью и / или между последней точкой данных и правым краем графика, выполните следующие действия:

1. Щелкните правой кнопкой мыши по оси x и выберите Ось формата…
2. На панели «Ось формата » установите требуемые границы минимум и максимум соответственно.
3. Кроме того, вы можете изменить блоки Major , которые управляют интервалом между линиями сетки.

На скриншоте ниже показаны мои настройки:

Чтобы удалить пространство между точками данных и верхним / нижним краями области графика, отформатируйте вертикальную ось y аналогичным образом.

Добавить метки к точкам данных точечной диаграммы

При создании точечного графика с относительно небольшим количеством точек данных вы можете пометить точки по имени, чтобы сделать визуальное представление более понятным. Вот как это можно сделать:

1. Выберите график и нажмите кнопку Элементы диаграммы .
2. Отметьте поле Data Labels , щелкните маленькую черную стрелку рядом с ним, а затем щелкните Дополнительные параметры…
   
3. На панели Format Data Labels перейдите на вкладку Label Options (последняя) и настройте метки данных следующим образом:

• Выберите поле Значение из ячеек , а затем выберите диапазон, из которого вы хотите извлечь метки данных (B2: B6 в нашем случае).
• Если вы хотите отображать только имена, снимите флажок X Value и / или Y Value , чтобы удалить числовые значения из меток.
• Укажите положение меток, В нашем примере выше точек данных.
  

Вот и все! Все точки данных на нашем графике рассеяния в Excel теперь помечены по имени:

Когда две или более точки данных находятся очень близко друг к другу, их метки могут перекрываться, как в случае с метками Jan и Mar на нашей диаграмме разброса. Чтобы исправить это, щелкните метки, а затем нажмите перекрывающуюся, чтобы была выбрана только эта метка.Наведите курсор мыши на выбранную метку, пока курсор не изменится на четырехстороннюю стрелку, а затем перетащите метку в желаемое положение.

В результате вы получите красивую диаграмму рассеяния в Excel с хорошо читаемыми надписями:

Добавьте линию тренда и уравнение

Чтобы лучше визуализировать взаимосвязь между двумя переменными, вы можете нарисовать линию тренда на диаграмме разброса Excel, также называемую линией наилучшего соответствия .

Для этого щелкните правой кнопкой мыши любую точку данных и выберите Добавить линию тренда… из контекстного меню.

Excel проведет линию как можно ближе ко всем точкам данных, чтобы над линией было столько точек, сколько показано ниже.

Кроме того, вы можете показать уравнение для линии тренда , которое математически описывает взаимосвязь между двумя переменными. Для этого установите флажок «Отображать уравнение на диаграмме » на панели «Линия тренда формата » , которая должна появиться в правой части окна Excel сразу после добавления линии тренда.Результат этих манипуляций будет выглядеть примерно так:

То, что вы видите на скриншоте выше, часто называют графиком линейной регрессии , и вы можете найти подробные инструкции по его созданию здесь: Как создать график линейной регрессии в Excel.

Как поменять местами оси X и Y на диаграмме рассеивания

Как уже упоминалось, диаграмма рассеяния обычно отображает независимую переменную на горизонтальной оси и зависимую переменную на вертикальной оси. Если ваш график построен по-другому, самое простое решение - поменять местами исходные столбцы на листе, а затем нарисовать диаграмму заново.

Если по какой-либо причине переупорядочивание столбцов невозможно, вы можете переключать серии данных X и Y прямо на диаграмме. Вот как:

1. Щелкните правой кнопкой мыши любую ось и выберите Выбрать данные… в контекстном меню.
   
2. В диалоговом окне Select Data Source нажмите кнопку Edit .
   
3. Скопируйте значения X серии в поле значений Y серии и наоборот.
   

   Наконечник. Чтобы безопасно редактировать содержимое полей Series , поместите указатель мыши в поле и нажмите F2.

4. Дважды щелкните ОК , чтобы закрыть оба окна.

В результате ваша диаграмма рассеяния Excel подвергнется следующему преобразованию:

Вот как вы создаете диаграмму рассеяния в Excel. В нашем следующем руководстве мы продолжим эту тему и покажем, как быстро найти и выделить определенную точку данных на диаграмме разброса. Пожалуйста, не переключайтесь!

Вас также может заинтересовать

3 Визуализация данных | R для науки о данных

Введение

 Библиотека  (tidyverse)
#> ── Присоединение пакетов ──────────────────────────────────────── tidyverse 1.3.0 ──
#> ✔ ggplot2 3.3.2 ✔ мурлыкать 0.3.4
#> ✔ tibble 3.0.3 ✔ dplyr 1.0.2
#> ✔ тидыр 1.1.2 ✔ стрингер 1.4.0
#> ✔ readr 1.4.0 ✔ forcats 0.5.0
#> ── Конфликты ─────────────────────────────────────────── tidyverse_conflicts () ──
#> ✖ dplyr :: filter () маскирует stats :: filter ()
#> ✖ dplyr :: lag () маски stats :: lag ()  

  миль на галлон
#> # Таблица: 234 x 11
#> модель производителя displ год cyl trans drv cty hwy fl class
#>           
#> 1 audi a4 1.8 1999 4 авто (l5) f 18 29 p компа…
#> 2 audi a4 1.8 1999 4 механика (m5) f 21 29 p compa…
#> 3 audi a4 2 2008 4 механика (m6) f 20 31 p compa…
#> 4 audi a4 2 2008 4 auto (av) f 21 30 p compa…
#> 5 audi a4 2.8 1999 6 auto (l5) f 16 26 p compa…
#> 6 audi a4 2.8 1999 6 механика (m5) f 18 26 p compa…
#> #… С еще 228 строками  

  ggplot (данные = миль на галлон) +
  geom_point (отображение = aes (x = displ, y = hwy))  

  ggplot (data = ) +
   (отображение = aes ())