Разное

Построение фигуры по уравнению онлайн: Построение графиков онлайн

23.12.2004

Содержание

Линия пересечения плоскостей онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти линию пересечения плоскостей. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения уравнения линии пересечения плоскостей введите коэффициенты в уравнения плоскостей и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Линия пересечения плоскостей − теория, примеры и решения

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными, могут совпадать или пересекаться. В данной статье мы определим взаимное расположение двух плоскостей, и если эти плоскости пересекаются, выведем уравнение линии пересечения плоскостей.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы плоскости α1 и α2:

α1:  A1x+B1y+C1z+D1=0,(1)
α2:  A2x+B2y+C2z+D2=0,(2)

где n1={A1, B1, C1} и n2={A2, B2, C2} − нормальные векторы плоскостей

α1 и α2, соответственно.

Найдем уравнение линии пересеченя плоскостей α1 и α2. Для этого рассмотрим следующие случаи:

1. Нормальные векторы n1 и n2 плоскостей α1 и α2 коллинеарны (Рис.1).

Поскольку векторы n1 и n2 коллинеарны, то существует такое число λ≠0, что выполнено равенство n1=λn2, т.е. A1=λA2, B1=λB2, C1=λC

2.

Умножив уравнение (2) на λ, получим:

α2:  A1x+B1y+C1z+λD2=0,(3)

Если выполненио равенство D1=λD2, то плоскости α1 и α2 совпадают, если же D1λD2то плоскости α1 и α2 параллельны, то есть не пересекаются.

2. Нормальные векторы n1 и n2 плоскостей α1 и α2 не коллинеарны (Рис.2).

Если векторы n1 и n2 не коллинеарны, то решим систему линейных уравнений (1) и (2). Для этого переведем свободные члены на правую сторону уравнений и составим соответствующее матричное уравнение:

Как решить уравнение (4) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн или Метод Жоржана-Гаусса онлайн.

Так как в системе линейных уравнений (4) векторы n1={A1, B1, C1} и n2={A2, B2, C2} не коллинеарны, то решение этой системы линейных уравнений имеет следующий вид:

где x

0, y0, z0, m, p, l действительные числа, а t − переменная.

Равенство (5) можно записать в следующем виде:

Мы получили параметрическое уравнение прямой, которое является линией пересечения плоскостей α1 и α2. Полученное уравнение прямой можно записать в каноническом виде:

Пример 1. Найти линию пересечения плоскостей α1 и α2:

Решение. Определим, сначала, взаимное расположение данных плоскостей. Плоскость α1 имеет нормальный вектор n1={A1, B1, C1}={1, 2, 1}. Плоскость α2

имеет нормальный вектор n2={A2, B2, C2}={2, 9, −5}.

Поскольку направляющие векторы n1 и n2 неколлинеарны, то плолскости α1 и α2 пересекаются.

Для нахождения линии пересечения влоскостей α1 и α2 нужно решить систему линейных уравнений (7) и (8). Для этого составим матричное уравнение этой системы:

Решим систему линейных уравнений (9) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a11. Для этого сложим строку 2 со строкой 1, умноженной на −2:

Второй этап. Обратный ход Гаусса.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a22. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на −2/5:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Получим решение:

где t− произвольное действительное число.

Запишем (11) в следующем виде:

Получили уравнение линии пересечения плоскостей α1 и α2 в параметрическом виде. Запишем ее в каноническом виде.

Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:

Ответ. Уравнение линии пересечения плоскостей α1 и α2имеет вид:

Пример 2. Найти линию пересечения плоскостей α1 и α2:

Решение. Определим, сначала, взаимное расположение данных плоскостей. Плоскость α1 имеет нормальный вектор n1={A1, B1, C1}={1, 2, 7}. Плоскость α2 имеет нормальный вектор n2={A2, B2, C2}={2, 4, 14}.

Поскольку направляющие векторы

n1 и n2 коллинеарны (n1 можно получить умножением n2 на число 1/2), то плоскости α1 и α2 параллельны или совпадают.

При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α2 умножив на число 1/2:

Так как нормальные векторы уравнений (14) и (16) совпадают, а свободные члены разные, то плоскости α1 и α2 не совпадают. Следовательно они параллельны, т.е. не пересекаются.

Пример 3. Найти линию пересечения плоскостей α1 и α2

:

Решение. Определим, сначала, взаимное расположение данных плоскостей. Плоскость α1 имеет нормальный вектор n1={A1, B1, C1}={5, −2, 3}. Плоскость α2 имеет нормальный вектор n2={A2, B2, C2}={15, −6, 9}.

Поскольку направляющие векторы n1 и n2 коллинеарны (n1 можно получить умножением n2 на число 1/3), то плоскости α1 и α2 параллельны или совпадают.

При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости

α2 умножив на число 1/3:

Так как нормальные векторы уравнений (17) и (19) совпадают, и свободные члены равны, то плоскости α1 и α2 совпадают.{2}}$$ и $$ {f}_{2}\left(x\right)=a$$.

График первой функции получается из графика функции, который был построен в предыдущем примере. Для этого нужно воспользоваться преобразованием вида ПР1 то есть график $$ y={f}_{1}\left(x\right)$$ имеет такой вид, как показано на рис. 43 $$ f\left(0\right)=\sqrt{5}$$.

Графиком функции $$ y=a$$ будет прямая, параллельная оси $$ Ox$$ (рис. 43). При этом она пересекает ось ординат в точке $$ (0,a)$$. Легко видеть, что при $$a 3$$ прямая $$ y=a$$ не имеет пересечений с графиком $$ y={f}_{1}\left(x\right)$$, при $$ a=3$$ и $$ a\in [0;\sqrt{5})$$ есть две точки пересечения, а при $$ a\in [\sqrt{5};3)$$ – четыре общие точки и при $$ a=\sqrt{5}$$ – три общие точки. Остаётся лишь сформулировать ответ.

При $$ a\in (-\infty ;0)\bigcup (3;+\infty )$$ решений нет, при $$ a\in [0;\sqrt{5})\bigcup \left\{3\right\}$$ – два решения, при $$ a\in \left\{\sqrt{5}\right\}$$ – три решения, при $$ a\in (\sqrt{5};3)$$ – четыре решения.

Найдём количество решений уравнения в зависимости от $$ a$$:

$$ |x+5|+|x-3|=a$$.

Методом интервалов нетрудно построить график функции

$$ f\left(x\right)=|x+5|+|x-3|$$.

Количество решений уравнения совпадает с числом точек пересечения этого графика с прямой $$ f\left(x\right)=a$$ (рис. 44).

Проанализировав график, несложно выписать ответ.

При $$ a\in (8;+\infty )$$ уравнение имеет 2 решения, при $$ a=8$$ уравнение имеет бесконечно много решений, при $$ a\in (-\infty ;8)$$ решений нет.

Рассмотрим ещё один пример задач с параметром, где используется построение множеств, задаваемых уравнениями с модулем. Напомним, что графиком уравнения называют линию на плоскости, на которой лежат те и только те точки, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Найдём количество решений системы уравнений

$$ \left\{\begin{array}{l}\left|x\right|+\left|y\right|=4;\\ {x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}\end{array}\right.$$

в зависимости от $$ a$$.

Для решения необходимо построить график уравнения $$ \left|x\right|+\left|y\right|=4$$. Это можно сделать, последовательно выполнив построения таких графиков:

График второго уравнения – окружность с центром в точке $$ O(0;0)$$ и радиусом $$ \left|a\right|$$. Изобразим оба этих графика на координатной плоскости $$ xOy$$.

Как видим, при $$|a| 4$$ графики не пересекаются. При $$ \left|a\right|=2\sqrt{2}$$ или $$ \left|a\right|=4$$ есть 4 точки пересечения. При остальных $$ a$$ есть 8 точек пересечения. Таким образом, можно сформулировать ответ.

При $$ a\in (-\infty ;-4)\cup (-2\sqrt{2};2\sqrt{2})\cup (4;+\infty )$$ система не имеет решений;

при $$ a\in \{-4;-2\sqrt{2};2\sqrt{2};4\}$$ система имеет 4 решения;

при $$ a\in (-4;-2\sqrt{2})\cup (2\sqrt{2};4)$$ система имеет 8 решений.

В следующей задаче нам потребуется понятие локального экстремума функции. Говорят, что функция $$ y=f\left(x\right)$$ имеет локальный максимум в точке $$ {x}_{0}$$, если для некоторого числа $$ε > 0$$ при $$|x − x_0| 0$$ при $$|x − x_0| локальный минимум в точке $$ {x}_{0}$$.{2}$$, а при $$x

Это возможно при условии $$1

$$ a\in (-2;-1)\bigcup (1;2)$$.

Найдём все значения $$ a$$, при которых уравнение

$$ \sqrt{x-9}=ax+7a-3$$

имеет единственное решение.

Полагая $$ x+7=t$$, получим уравнение $$ \sqrt{t-16}=at-3$$. (1)

Требуется найти все значения $$ a$$, при которых графики функций $$ y=\sqrt{t-16}$$ и $$ y=at-3$$ имеют единственную общую точку. Заметим, что все прямые, задаваемые уравнением $$ y=at-3$$ проходят через $$ (0;-3)$$ (рис. 46).

Ясно, что если $$ a\le 0$$, то прямая $$ y=at-3$$ не имеет общих точек с параболой $$ y=\sqrt{t-16}$$. Угловой коэффициент прямой $$ y=at-3$$ равен $$ a$$. Найдем угловые коэффициенты $$ {a}_{1}$$ и $$ {a}_{2}$$ прямых $$ {l}_{1}$$ и $$ {l}_{2}$$ (см. рис. 46) (обе задаются уравнением вида $$ y=at-3$$), первая из которых проходит через точку $$ (16;0)$$, а вторая имеет ровно одну общую точку (касается) с линией $$ y=\sqrt{t-16}$$.{2}$$.

Это уравнение задаёт окружность $$ L$$ радиуса $$ \left|a\right|$$ или точку $$ (0;1)$$ при $$ a=0$$ с центром в точке $$ M(0;1)$$. Исходная система имеет хотя бы одно решение при тех значениях $$ a$$, при которых окружность $$ L$$ имеет общие точки с множеством $$ E$$. При этом ввиду симметричного расположения соответствующих пар кругов относительно оси ординат достаточно выяснить, при каких значениях $$ a$$ окружность $$ L$$ имеет общие точки с кругами, центрами которых являются точки $$ {O}_{1}$$ и $$ {O}_{2}$$. Проведём из точки $$ M$$ лучи $$ {l}_{1}$$ и $$ {l}_{2}$$ в направлении точек $$ {O}_{1}$$ и $$ {O}_{2}$$. Пусть $$ {A}_{1}$$ и $$ {B}_{1}$$ – точки пересечения $$ {l}_{1}$$ и окружности с центром $$ {O}_{1}$$, $$ {A}_{2}$$ и $$ {B}_{2}$$ – точки пересечения $$ {l}_{2}$$ и окружности с центром $$ {O}_{2}$$. Тогда из геометрических соображений имеем:

$$ M{O}_{1}=5$$, $$ M{O}_{2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$$,

$$ M{A}_{1}=4$$, $$ M{B}_{1}=6$$, $$ M{A}_{2}=\sqrt{41}-1$$, $$ M{B}_{2}=\sqrt{41}+1$$.{2}-b|$$ (см. рис. 48). Если $$0 0$$).

В завершении разберём несколько задач с параметрами, которые удобно решать методом областей на координатной плоскости.

Найдём все значения `a`, при каждом из которых уравнение

`a|x-3|=5/(x+2)`

на промежутке  `{0;+oo)` имеет ровно два корня.

Рассмотрим функции `f(x)-a|x-3|` и `g(x)=5/(x+2)`.

Если построить график функции `f(x)` для разных `a` (рис. 50) и график функции `g(x)` (рис. 51), то можно без проблем исследовать на промежутке `[0;+oo)` уравнение `f(x)=g(x)`.

При `a<=0` все значения функции `f(x)` на промежутке `[0;+oo)` неположительны, а все значения функции `g(x)` – положительны, поэтому при `a<=0` уравнение `f(x)=g(x)` не имеет решений на промежутке `[0;+oo)`. При `a>0` функция `f(x)` возрастает на промежутке `(3;+oo)`. Функция `g(x)` убывает на этом промежутке, поэтому уравнение `f(x)=g(x)` всегда имеет ровно одно решение на промежутке `(3;+oo)`, поскольку `f(3)<g(3)` и `f(3+1/a)>g(3+1/a)`.2-20a`, поэтому при `0<a<4/5` это уравнение не имеет корней; при `a=4/5` уравнение имеет единственный корень, равный `1/2`; при `a>4/5` уравнение имеет два корня.

Пусть уравнение имеет два корня, то есть `a>4/5`. Тогда оба корня меньше `3`, поскольку при `x>=3` значения функции `3a-ax` неположительны, а значения функции `5/(x+2)` положительны. По теореме Виета сумма корней равна `1`, а произведение равно `5/6-6`. Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку `[0;3]`, а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда `5/a-6>=0`, то есть `a<=5/6`.

Таким образом, уравнение `a|x-3|=5/(x+2)` имеет следующее количество корней на промежутке `[0;+oo):

– нет корней при `a<=0`;

– один корень при `0<a<4/5`;

– два корня при `a=4/5` и `a>5/6`;

– три корня при `4/5<a<=5/6`.

В завершении разберём несколько задач с параметрами, которые удобно решать методом областей на координатной плоскости.{2}=3$$. Первое из них задаёт квадрат $$ G$$ с центром $$ (-2;-9)$$, диагонали которого равны $$ 4$$ и параллельны осям координат. Второе задаёт окружность $$ S$$ с центром $$ (0;0)$$ радиуса $$ \sqrt{3}$$ (см. рис. 52).

Второе уравнение исходной системы при $$a > 0$$ задаёт окружность $$ \Omega $$ с центром $$ (-2;-4)$$ радиуса $$ R=\sqrt{a}$$.

Отметим, что при $$a

Рассмотрев случаи внешнего и внутреннего касания окружностей $$ \Omega $$ и $$ S$$, можно заключить, что они имеют ровно `1` общую точку при $$ R=\sqrt{20}\pm \sqrt{3}$$, ровно `2` общие точки при $$ R\in (\sqrt{20}-\sqrt{3};\sqrt{20}+\sqrt{3})$$ и ни одной общей точки при остальных $$ R$$. Поскольку центры окружности $$ \Omega $$ и квадрата $$ G$$ лежат на прямой $$ x=-2$$, то $$ \Omega $$ и $$ G$$ имеют ровно `1` общую точку при $$ R=3$$ или $$ R=7$$, ровно `2` общие точки при $$ R\in (3;7)$$ и ни одной общей точки при остальных значениях $$ R$$. Для того чтобы у системы было 3 решения, необходимо и достаточно, чтобы окружность $$ \Omega $$ имела `2` общие точки с квадратом $$ G$$ и `1` общую точку с окружностью $$ S$$ или наоборот. Рассмотрим значения $$ R$$, при которых окружность $$ \Omega $$ имеет с квадратом $$ G$$ или окружностью $$ S$$ ровно `1` общую точку.

1) $$ R=\sqrt{20}+\sqrt{3}$$. Тогда есть ровно `1` общая точка с окружностью $$ S$$ и ровно `2` общие точки с квадратом $$ G$$ (т. к. $$3

2) $$ R=\sqrt{20}-\sqrt{3}$$. Тогда есть ровно `1` общая точка с окружностью $$ S$$ и нет общих точек с квадратом $$ G$$ (т. к. $$\sqrt{20}-\sqrt3

3) $$ R=3$$. Тогда есть ровно `1` общая точка с квадратом $$ G$$ и ровно `2` общие точки с окружностью $$ S$$ (т. к. $$\sqrt{20} − \sqrt{3}

4) $$ R=7$$. Тогда есть ровно `1` общая точка с квадратом $$ G$$ и нет общих точек с окружностью $$ S$$ (т. к. $$7 > \sqrt{20} + \sqrt{3}$$), т.2) iff a=-2`.

При `a in (-oo;-2)uu(-2;-1]uu[1;+oo)` нет решений;

при `a in {-2}uu(-1;0)uu(0;1)` одно решение;

при `a=0` два решения.

Построение графика квадратного уравнения с двумя переменными. Как построить график уравнения. Преимущества построения графиков онлайн

На этом уроке мы подробно рассмотрим построение графиков уравнений. Вначале вспомним, что такое рациональное уравнение и множество его решений, образующее график уравнения. Подробно рассмотрим график линейного уравнения и свойства линейной функции, научимся читать графики. Далее рассмотрим график квадратного уравнения и свойства квадратичной функции. Рассмотрим гиперболическую функцию и ее график и график уравнения окружности. Далее перейдем к построению и изучению совокупности графиков.

Тема: Системы уравнений

Урок: Графики уравнений

Мы рассматриваем рациональное уравнение вида и системы рациональных уравнений вида

Мы говорили, что каждое уравнение в этой системе имеет свой график, если конечно имеются решения уравнений. Мы рассмотрели несколько графиков различных уравнений.

Сейчас мы систематически рассмотрим каждое из известных нам уравнений, т.е. выполним обзор по графикам уравнений .

1. Линейное уравнение с двумя переменными

x, y — в первой степени; a,b,c — конкретные числа.

Пример:

Графиком этого уравнения является прямая линия.

Мы действовали равносильными преобразованиями — y оставили на месте, всё остальное перенесли в другую сторону с противоположными знаками. Исходное и полученное уравнения равносильны, т.е. имеют одно и то же множество решений. График этого уравнения мы умеем строить, и методика его построения такова: находим точки пересечения с координатными осями и по ним строим прямую.

В данном случае

Зная график уравнения, мы можем многое сказать о решениях исходного уравнения, а именно: если сли

Эта функция возрастает, т.е. с увеличением x увеличивается y. Мы получили два частных решения, а как записать множество всех решений?

Если точка имеет абсциссу x, то ордината этой точки

Значит, чисел

У нас было уравнение, мы построили график, нашли решения. Множество всех пар — сколько их? Бесчисленное множество.

Это рациональное уравнение,

Найдем y, равносильными преобразованиями получаем

Положим и получаем квадратичную функцию, ее график нам известен.

Пример: Построить график рационального уравнения.

Графиком является парабола, ветви направлены вверх.

Найдем корни уравнения:

Схематически изобразим график (Рис. 2).

С помощью графика мы получаем всевозможные сведения и о функции, и о решениях рационального уравнения. Мы определили промежутки знакопостоянства, теперь найдем координаты вершины параболы.

У уравнения бесчисленное множество решений, т.е. бесчисленное множество пар , удовлетворяющих уравнению, но все А каким может быть x? Любым!

Если мы зададим любое x, то получим точку

Решением исходного уравнения является множество пар

3. Построить график уравнения

Необходимо выразить y. Рассмотрим два варианта.

Графиком функции является гипербола, функция не определена при

Функция убывающая.

Если мы возьмем точку с абсциссой , то ее ордината будет равна

Решением исходного уравнения является множество пар

Построенную гиперболу можно сдвигать относительно осей координат.

Например, график функции — тоже гипербола — будет сдвинут на единицу вверх по оси ординат.

4. Уравнение окружности

Это рациональное уравнение с двумя переменными. Множеством решений являются точки окружности. Центр в точке радиус равен R (Рис. 4).

Рассмотрим конкретные примеры.

a.

Приведем уравнение к стандартному виду уравнения окружности, для этого выделим полный квадрат суммы:

— получили уравнение окружности с центром в .

Построим график уравнения (Рис. 5).

b. Построить график уравнения

Вспомним, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю, а второй существует.

График заданного уравнения состоит из совокупности графиков первого и второго уравнений, т.е. двух прямых.

Построим его (Рис. 6).

Построим график функции Прямая будет проходить через точку (0; -1). Но как она пройдет — будет возрастать или убывать? Определить это нам поможет угловой коэффициент, коэффициент при x, он отрицательный, значит функция убывает. Найдем точку пересечения с осью ox, это точка (-1; 0).

Аналогично строим график второго уравнения. Прямая проходит через точку (0; 1), но возрастает, т.к. угловой коэффициент положителен.

Координаты всех точек двух построенных прямых и являются решением уравнения.

Итак, мы проанализировали графики важнейших рациональных уравнений, они будут использоваться и в графическом методе и в иллюстрации других методов решения систем уравнений.

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. — М., 2011. — 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

1. Раздел College.ru по математике ().

2. Интернет-проект «Задачи» ().

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» ().

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 95-102.

Пусть задано уравнение с двумя переменными F(x; y) . Вы уже познакомились со способами решения таких уравнений аналитически. Множество решений таких уравнений можно представить и в виде графика.

Графиком уравнения F(x; y) называют множество точек координатной плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют уравнению.

Для построения графика уравнения с двумя переменными сначала выражают в уравнении переменную y через переменную x.

Наверняка вы уже умеете строить разнообразные графики уравнений с двумя переменными: ax + b = c – прямая, yx = k – гипербола, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – окружность, радиус которой равен R, а центр находится в точке O(a; b).

Пример 1.

Построить график уравнения x 2 – 9y 2 = 0.

Решение.

Разложим на множители левую часть уравнения.

(x – 3y)(x+ 3y) = 0, то есть y = x/3 или y = -x/3.

Ответ: рисунок 1.

Особое место занимает задание фигур на плоскости уравнениями, содержащими знак абсолютной величины, на которых мы подробно остановимся. Рассмотрим этапы построения графиков уравнений вида |y| = f(x) и |y| = |f(x)|.

Первое уравнение равносильно системе

{f(x) ≥ 0,
{y = f(x) или y = -f(x).

То есть его график состоит из графиков двух функций: y = f(x) и y = -f(x), где f(x) ≥ 0.

Для построения графика второго уравнения строят графики двух функций: y = f(x) и y = -f(x).

Пример 2.

Построить график уравнения |y| = 2 + x.

Решение.

Заданное уравнение равносильно системе

{x + 2 ≥ 0,
{y = x + 2 или y = -x – 2.

Строим множество точек.

Ответ: рисунок 2.

Пример 3.

Построить график уравнения |y – x| = 1.

Решение.

Если y ≥ x, то y = x + 1, если y ≤ x, то y = x – 1.

Ответ: рисунок 3.

При построении графиков уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, удобно и рационально использовать метод областей , основанный на разбиении координатной плоскости на части, в которых каждое подмодульное выражение сохраняет свой знак.

Пример 4.

Построить график уравнения x + |x| + y + |y| = 2.

Решение.

В данном примере знак каждого подмодульного выражения зависит от координатной четверти.

1) В первой координатной четверти x ≥ 0 и y ≥ 0. После раскрытия модуля заданное уравнение будет иметь вид:

2x + 2y = 2, а после упрощения x + y = 1.

2) Во второй четверти, где x

3) В третьей четверти x

4) В четвертой четверти, при x ≥ 0, а y

График данного уравнения будем строить по четвертям.

Ответ: рисунок 4.

Пример 5.

Изобразить множество точек, у которых координаты удовлетворяют равенству |x – 1| + |y – 1| = 1.

Решение.

Нули подмодульных выражений x = 1 и y = 1 разбивают координатную плоскость на четыре области. Раскроем модули по областям. Оформим это в виде таблицы.

Область
Знак подмодульного выражения
Полученное уравнение после раскрытия модуля
I x ≥ 1 и y ≥ 1 x + y = 3
II x -x + y = 1
III x x + y = 1
IV x ≥ 1 и y x – y = 1

Ответ: рисунок 5.

На координатной плоскости фигуры могут задаваться и неравенствами .

Графиком неравенства с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого неравенства.

Рассмотрим алгоритм построения модели решений неравенства с двумя переменными :

  1. Записать уравнение, соответствующее неравенству.
  2. Построить график уравнения из пункта 1.
  3. Выбрать произвольную точку в одной из полуплоскостей. Проверить, удовлетворяют ли координаты выбранной точки данному неравенству.
  4. Изобразить графически множество всех решений неравенства.

Рассмотрим, прежде всего, неравенство ax + bx + c > 0. Уравнение ax + bx + c = 0 задает прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости. В каждой из них функция f(x) = ax + bx + c сохраняет знак. Для определения этого знака достаточно взять любую точку, принадлежащую полуплоскости, и вычислить значение функции в этой точке. Если знак функции совпадает со знаком неравенства, то эта полуплоскость и будет решением неравенства.

Рассмотрим примеры графического решения наиболее часто встречающихся неравенств с двумя переменными.

1) ax + bx + c ≥ 0. Рисунок 6 .

2) |x| ≤ a, a > 0. Рисунок 7 .

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Рисунок 8 .

4) y ≥ x 2 . Рисунок 9.

5) xy ≤ 1. Рисунок 10.

Если у вас появились вопросы или вы хотите попрактиковаться изображать на плоскости модели множества всех решений неравенств с двумя переменными с помощью математического моделирования, вы можете провести бесплатное 25-минутное занятие с онлайн репетитором после того, как зарегистрируетесь . Для дальнейшей работы с преподавателем у вас будет возможность выбрать подходящий для вас тарифный план.

Остались вопросы? Не знаете, как изобразить фигуру на координатной плоскости?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Линейное уравнение с двумя переменными — любое уравнение, которое имеет следующий вид: a*x + b*y =с . Здесь x и y есть две переменные, a,b,c — некоторые числа.

Решением линейного уравнения a*x + b*y = с, называется любая пара чисел (x,y) которая удовлетворяет этому уравнению, то есть обращает уравнение с переменными x и y в верное числовое равенство. Линейное уравнение имеет бесконечное множество решений.

Если каждую пару чисел, которые являются решением линейного уравнения с двумя переменными, изобразить на координатной плоскости в виде точек, то все эти точки образуют график линейного уравнения с двумя переменными. Координатами точками будут служить наши значения x и у. При этом значение х будет являться абсциссой, а значение у — ординатой.

График линейного уравнения с двумя переменными

Графиком линейного уравнения с двумя переменными называется множество всевозможных точек координатной плоскости, координаты которых будут являться решениями этого линейного уравнения. Несложно догадаться, что график будет представлять собой прямую линию. Поэтому такие уравнения и называются линейными.

Алгоритм построения

Алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменным.

1. Начертить координатные оси, подписать их и отметить единичный масштаб.

2. В линейном уравнении положить х = 0, и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.

3. В линейном уравнении в качестве у взять число 0, и решить полученное уравнение относительно х. Отметить полученную точку на графике

4. При необходимости взять произвольное значение х, и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.

5. Соединить полученные точки, продолжить график за них. Подписать получившуюся прямую.

Пример: Построить график уравнения 3*x — 2*y =6;

Положим х=0, тогда — 2*y =6; y= -3;

Положим y=0, тогда 3*x = 6; x=2;

Отмечаем полученные точки на графике, проводим через них прямую и подписываем её. Посмотрите на рисунок ниже, график должен получиться именно таким.

Прямоугольная система координат это пара перпендикулярных координатных линий, называемых осями координат, которые размещены так, что они пересекаются в их начале.

Обозначение координатных осей буквами х и у является общепринятым, однако буквы могут быть любые. Если используются буквы х и у, то плоскость называется xy-плоскость . В различных приложениях могут применяться отличные от букв x и y буквы, и как показано с нижерасположенных рисунках, есть uv-плоскости и ts-плоскости .

Упорядоченная пара

Под упорядоченной парой действительных чисел мы имеем в виду два действительных чисел в определённом порядке. Каждая точка P в координатной плоскости может быть связана с уникальной упорядоченной парой действительных чисел путём проведения двух прямых через точку P: одну перпендикулярно оси Х, а другую — перпендикулярно оси у.

Например, если мы возьмём (a,b)=(4,3), тогда на координатной полоскости

Построить точку Р(a,b) означает определить точку с координатами (a,b) на координатной плоскости. Например, различные точки построены на рисунке внизу.

В прямоугольной системе координат оси координат делят плоскость на четыре области, называемые квадрантами. Они нумеруются против часовой стрелки римскими цифрами, как показано на рисунке

Определение графика

Графиком уравнения с двумя переменными х и у, называется множество точек на ху-плоскости, координаты которых являются членами множества решений этого уравнения

Пример: нарисовать график y = x 2

Из-за того, что 1/x не определено, когда x=0, мы можем построить только точки, для которых x ≠0

Пример: Найдите все пересечения с осями
(a) 3x + 2y = 6
(b) x = y 2 -2y
(c) y = 1/x

Пусть y = 0, тогда 3x = 6 or x = 2

является искомой точкой пересечения оси x.

Установив, что х=0, найдем что точкой пересечения оси у является точка у=3.

Таким эе образом вы можете решить уравнение (b), а решения для (c) приведено ниже

x-пересечение

Пусть y = 0

1/x = 0 => x не может быть определено, то есть нет пересечения с осью у

Пусть x = 0

y = 1/0 => y также не определено, => нет пересечения с осью y

На рисунке внизу точки (x,y), (-x,y),(x,-y) и (-x,-y) обозначают углы прямоугольника.

График симметричен относительно оси х, если для каждой точки (x,y) графика, точка (x,-y) есть также точкой на графике.

График симметричен относительно оси y, если для каждой точки графика (x,y) точка (-x,y) также принадлежит графику.

График симметричен относительно центра координат, если для каждой точки (x,y) графика, точка (-x,-y) также принадлежит этому графику.

Определение:

График функции на координатной плоскости определяется как график уравнения y = f(x)

Постройте график f(x) = x + 2

Пример 2. Постройте график f(x) = |x|

График совпадает с линией y = x для x> 0 и с линией y = -x

для x

graph of f(x) = -x

Соединяя эти два графика, мы получаем

график f(x) = |x|

Пример 3. Постройте график

t(x) = (x 2 — 4)/(x — 2) =

= ((x — 2)(x + 2)/(x — 2)) =

= (x + 2) x ≠ 2

Следовательно, эта функция может быть записана в виде

y = x + 2 x ≠ 2

График h(x)= x 2 — 4 Or x — 2

график y = x + 2 x ≠ 2

Пример 4. Постройте график

Графики функций с перемещением

Предположим, что график функции f(x) известен

Тогда мы можем найти графики

y = f(x) + c — график функции f(x), перемещённый

ВВЕРХ на c значений

y = f(x) — c — график функции f(x), перемещённый

ВНИЗ на c значений

y = f(x + c) — график функции f(x), перемещённый

ВЛЕВО на c значений

y = f(x — c) — график функции f(x), перемещённый

Вправо на c значений

Пример 5. Постройте

график y = f(x) = |x — 3| + 2

Переместим график y = |x| на 3 значения ВПРАВО, чтобы получить график

Переместим график y = |x — 3| на 2 значения ВВЕРХ, чтобы получить график y = |x — 3| + 2

Постройте график

y = x 2 — 4x + 5

Преобразуем заданное уравнение следующим образом, прибавив к обеим частям 4:

y + 4 = (x 2 — 4x + 5) + 4 y = (x 2 — 4x + 4) + 5 — 4

y = (x — 2) 2 + 1

Здесь мы видим, что этот график может быть получен перемещением графика y = x 2 вправо на 2 значения, потому что x — 2, и вверх на 1 значение, потому что +1.

y = x 2 — 4x + 5

Отражения

(-x, y) есть отражением (x, y) относительно оси y

(x, -y) есть отражением (x, y) относительно оси x

Графики y = f(x) и y = f(-x) являются отражением друг друга относительно оси y

Графики y = f(x) и y = -f(x) являются отражением друг друга относительно оси x

График может быть получен отражением и перемещением:

Нарисуйте график

Найдём его отражение относительно оси y, и получим график

Переместим этот график вправо на 2 значения и получим график

Вот искомый график

Если f(x) умножена на положительною постояную c, то

график f(x) сжимается по вертикали, если 0

график f(x) растягивается по вертикали, если c > 1

Кривая не является графиком y = f(x) для любой функции f

Комплекс уроков по теме «Координатный метод. Уравнение прямой и окружности.»

«Элементы творческой деятельности учащихся на примере темы 9 класса «Координатный метод. Уравнение прямой и окружности.»

Основные положения изучения метода координат в школе

Придавая геометрическим исследованиям алгебраический характер, метод координат переносит в геометрию наиболее важную особенность алгебры — единообразие способов решения задач. Если в арифметике и элементарной геометрии приходится, как правило, искать для каждой задачи особый путь решения, то в алгебре и аналитической геометрии решения проводятся по общему для всех задач плану, легко приспособляемому к любой задаче. Перенесение в геометрию свойственных алгебре и поэтому обладающих большой общностью способов решения задач составляет главную ценность метода координат. Но не смотря на это мы подойдем к методу координат с другой стороны, и дадим учащимся творческое задание связанное с этим методом.

Другое достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных изображений.

Можно выделить следующие цели изучения метода координат в школьном курсе геометрии:

— дать учащимся эффективный метод решения задач и доказательства ряда теорем;

— показать на основе этого метода тесную связь алгебры и геометрии;

— способствовать развитию вычислительной и графической культуры учащихся.

Анализ школьных учебников

Хорошо известно, что, как бы ни строился школьный курс геометрии, в нем обязательно присутствуют различные методы доказательства теорем и решения задач. Среди таких методов важное место занимают такие методы, как метод геометрических преобразований, метод координат, векторный метод. Сами эти методы тесно связаны между собой. В зависимости от концепции, раскрываемой авторами учебников геометрии для средней школы, тот или иной метод может занимать доминирующее значение. Так в учебнике [4] активную роль играет метод координат, который весьма плодотворен.

В школьной программе по математике методу координат уделяется сравнительно мало внимания. В разделе «Цели изучения курса геометрии» говорится: «При доказательстве теорем и решении задач… применяются геометрические преобразования, векторы и координаты». Следовательно, программа не ставит целью изучение метода координат как метода решения задач. В программе говорится, что «в результате изучения курса геометрии учащиеся должны уметь использовать координаты для решения несложных стандартных задач». Ни слова не говориться об овладении учащимися методом координат для доказательства теорем и решении задач. Упор делается на «несложные стандартные задачи», тогда как метод координат лучше проявляет свои достоинства при решении нестандартных, творческих и довольно сложных задач.

Так, в учебнике [1] координатам посвящена отдельная глава в 9 классе. Причем этот материал изучается после изучения темы «Векторы», но до изучения скалярного произведения векторов. На рассмотрение темы отводиться 18 часов. В данном учебнике метод координат выделен в отдельную главу, в которой изучаются координаты вектора, уравнение окружности и прямой, решаются простейшие задачи в координатах. В этой главе дается понятие метода координат как метода изучения геометрических фигур с помощью средств алгебры. Школьники учатся решать задачи путем введения системы координат. Автор ставит целью научить школьников владеть методом координат не только в применении к задачам на построение фигур по их уравнению, но и при решении задач на доказательство, а также для вывода геометрических формул.

Суть метода координат

Сущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. Обратно, пользуясь координатами, можно истолковывать алгебраические и аналитические соотношения и факты геометрически и таким образом применять геометрию к решению алгебраических задач.

Метод координат – это универсальный метод. Он обеспечивает тесную связь между алгеброй и геометрией, которые, соединяясь, дают «богатые плоды», какие они не могли бы дать, оставаясь разделенными.

В отношении школьного курса геометрии можно сказать, что в некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрическими способами.
Эксперимент

Эксперимент проводился в 9 классе средней общеобразовательной школы №21. В эксперименте участвовало 30 человек. Перед его проведением была изучена математическая и методическая литература и разработана методика проведения факультатива. Было проведено 5 занятий. В данном классе изучение геометрии ведется по учебнику [1], поэтому в качестве основного теоретического и практического источника я выбрала данный методический комплект.

Занятия проводились по теме «Уравнение окружности» и «Уравнение прямой».

1 занятие: «Уравнение окружности»

Цели:

Ввести уравнение окружности. Научить его выводить и применять при решении задач. Содействовать рациональной организации труда учащихся.

Ход урока:

  1. Формирование новых понятий.

Уравнением фигуры в декартовых координатах на плоскости называется уравнение с двумя неизвестными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры и обратно.

Любые два числа, удовлетворяющие этому уравнению, являются координатами некоторой точки фигуры.

Если центром окружности является начало координат, то уравнение окружности имеет вид:

  1. Формирование умений и навыков.

  2. Итог урока.

2 занятие: «Уравнение прямой»

Цели:

Дать общее уравнение прямой. Научить выводить уравнение прямой в ходе изучения текущего материала и использовать его при решении задач. Содействовать рациональной организации труда учащихся.

Ход урока:

  1. Формирование новых понятий.

Любая прямая в декартовых координатах х, у имеет уравнение вида ax+by+c=0,где a, b, c – некоторые числа, причем хотя бы одно из чисел a, b не равно нулю.

Координаты любой точки М(х; у), равноудаленной от точек А(0;1) и В(1; 2), удовлетворяют уравнению

Верно и обратное утверждение: если координаты точки удовлетворяют записанному уравнению, то она равноудалена от точек (0;1) и (1; 2), так как в правой части уравнения – квадрат расстояния до первой точки, а в левой – квадрат расстояния до второй точки. Если в полученном уравнении раскрыть скобки, перенести все члены в левую часть и привести подобные члены, то оно примет вид х+у-2=0. Таким образом, данное уравнение является уравнением геометрического места точек, равноудаленных от А(0; 1) и В(1; 2). Это уравнение является уравнением прямой, перпендикулярной к отрезку АВ и проходящей через его середину.

  1. Формирование умений и навыков.

  2. Итог урока.

3 занятие.

Учащимся предлагается нарисовать в координатной плоскости рисунок, состоящий из отрезков, окружностей или полуокружностей. Рисунок может быть любым, будь то человечек, домик или же закат. После чего они должны описать рисунок уравнениями.

4 занятие.

Теперь давайте опишем наш рисунок в координатах с помощью уравнений.

У нас имеется 2 окружности. Начнем с той, которая имеет меньший радиус.

Для начала вспомним общий вид уравнения окружности:

Где a — абсцисса центра окружности, b – ордината центра окружности, r – радиус окружности.

Теперь приступим к составлению уравнения меньшей из окружностей.

Как видно на рисунке, центр меньшей окружности это точка с координатами (3;2), а ее радиус равен 1. Следовательно уравнение будет иметь вид:

Аналогично составим уравнение большей из окружностей. Как видно на рисунке, центр большей окружности это точка с координатами (10;3) и радиусом равным 2. Следовательно уравнение будет иметь вид:

Затем приступим к составлению уравнений каждой из имеющихся прямых. Для того, чтобы составить уравнение прямой, необходимо найти две точки на прямой и подставить их в следующее уравнение:

После составить из двух полученных таким образом уравнений систему и вычислить коэффициенты k и b.

Прямая 1.

Данной прямой принадлежат точки с координатами (3;3) и с координатами (7;9). Составим систему из двух уравнений.

Теперь решим эту систему. Для этого из второго уравнения системы вычтем первое уравнение системы, таким образом мы избавимся от b, получим:

Затем подставим значение k в первое уравнение системы и таким образом вычислим коэффициент b:

Значит уравнение прямой 1 будет выглядеть так:

Прямая 2.

Данной прямой принадлежат точки с координатами (10;5) и с координатами (7;9). Составим систему из двух уравнений.

Теперь решим эту систему. Для этого из второго уравнения системы вычтем первое уравнение системы, таким образом мы избавимся от b, получим:

Затем подставим значение k в первое уравнение системы и таким образом вычислим коэффициент b:

Значит уравнение прямой 2 будет выглядеть так:

Прямая 3.

Данной прямой принадлежат точки с координатами (10;10) и с координатами (7;9). Составим систему из двух уравнений.

Теперь решим эту систему. Для этого из первого уравнения системы вычтем второе уравнение системы, таким образом мы избавимся от b, получим:

Затем подставим значение k в первое уравнение системы и таким образом вычислим коэффициент b:

Значит уравнение прямой 3 будет выглядеть так:

Прямая 4.

Данной прямой принадлежат точки с координатами (10;10) и с координатами (12;9). Составим систему из двух уравнений.

Теперь решим эту систему. Для этого из второго уравнения системы вычтем первое уравнение системы, таким образом мы избавимся от b, получим:

Затем подставим значение k в первое уравнение системы и таким образом вычислим коэффициент b:

Значит уравнение прямой 2 будет выглядеть так:

Прямая 5.

Данной прямой принадлежат точки с координатами (12;9) и с координатами (7;9). Составим систему из двух уравнений.

Теперь решим эту систему. Для этого из первого уравнения системы вычтем второе уравнение системы, таким образом мы избавимся от b, получим:

Затем подставим значение k в первое уравнение системы и таким образом вычислим коэффициент b:

Значит уравнение прямой 2 будет выглядеть так:

5 занятие.

Учащимся вновь предлагается нарисовать рисунки в координатах и описать их уравнениями, но уже после полученной информации о том, как это правильно сделать.

Подведение итогов эксперимента.

При проведении первой самостоятельной работы, результаты учащихся были не очень высокими, что подтверждает следующая диаграмма.

После проведения уроков, на которых решались подобные творческие задачи, результаты написания второй самостоятельной работы улучшились. Это видно из следующей диаграммы.

В ходе проведения эксперимента видно, что у учащихся повысился интерес к решению творческих задач и к самому предмету геометрии.

Заключение.

В процессе экспериментального исследования поставленной научной проблемы в соответствии с задачами и целью исследования получены следующие основные результаты:

    1. Анализ психолого-педагогической и методико-математической литературы по проблеме исследования показал, что отличительной чертой творческой деятельности школьников является субъективная новизна как создаваемого продукта, так и способов деятельности.

    2. Уточнено содержание понятия «творческая деятельность» по отношению к учащимся основной школы. Творческая деятельность рассматривается как учебная деятельность учащихся, направленная на разрешение противоречий между имеющимися у них знаниями и их недостаточностью для решения встающих перед ними задач посредством приобретения новых знаний о предмете изучения и создания (ассоциированных как с привлечением при решении задач образной составляющей, пространственного воображения, так и с самостоятельным установлением новых фактов, отношений между ними, применением их в любых ситуациях) новых способов деятельности, таких как применение и самостоятельное комбинирование известных способов деятельности в новой ситуации, предвидение хода решения и связанное с этим

конструирование объекта посредством преобразования объекта или создания комбинаций объектов, видение новых функций, свойств знакомого объекта, критическое оценивание первоначального разнообразия путей (ходов) решения проблемы и выбор оптимального.

    1. Определены следующие критерии оценки творческой деятельности школьника: изменение качества знаний учащихся по сравнению с предыдущими результатами; самооценка своей деятельности и способность формировать оценочные суждения; отношение школьников к учению, к преподавателю, к конкретным видам занятий; удовлетворенность школьников учением.

    2. Экспериментально показано, что внедрение в практику обучения различных творческих задач улучшает качество математической подготовки учащихся, повышает эффективность процесса формирования творческой деятельности учащихся при изучении геометрии.

Список литературы.

  1. Атанасян, Л. С. Геометрия для 7-9 классов средней школы [Текст] / В. Ф. Бутузов, С. Д. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина – М. Просвещение, 1992г.- 335с.

  2. Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике. – М.: Вербум-М, 2003

  3. Евтушенко С.В. Педагогика творчества: учебно-методическое пособие. – М., 2006.

  4. Погорелов, А. В. Геометрия для 7-11 классов средней школы — М: Просвещение, 1990г. — 384с

  5. Пойа Д. Как решать задачу. – М.: Учпедгиз, 1959.

  6. Пойа Д. Математическое открытие. – М.: Наука, 1970.

  7. Рыжик В.И. 30 000 уроков математики. – М.: Просвещение, 2003.

  8. Тамберг Ю.Г. Развитие Творческого мышления ребенка. – СПб., 2002.

  9. Ясвин В.А. Тренинг педагогического взаимодействия в творческой образовательной среде. – М., 1998.

Координатные плоскости и графики, функции.

Прямоугольная система координат это пара перпендикулярных координатных линий, называемых осями координат, которые размещены так, что они пересекаются в их начале.

Обозначение координатных осей буквами х и у является общепринятым, однако буквы могут быть любые. Если используются буквы х и у, то плоскость называется xy-плоскость. В различных приложениях могут применяться отличные от букв x и y буквы, и как показано с нижерасположенных рисунках, есть uv-плоскости и ts-плоскости.

Упорядоченная пара

Под упорядоченной парой действительных чисел мы имеем в виду два действительных чисел в определённом порядке. Каждая точка P в координатной плоскости может быть связана с уникальной упорядоченной парой действительных чисел путём проведения двух прямых через точку P: одну перпендикулярно оси Х, а другую — перпендикулярно оси у.

Например, если мы возьмём (a,b)=(4,3), тогда на координатной полоскости

Построить точку Р(a,b) означает определить точку с координатами (a,b) на координатной плоскости. Например, различные точки построены на рисунке внизу.

В прямоугольной системе координат оси координат делят плоскость на четыре области, называемые квадрантами. Они нумеруются против часовой стрелки римскими цифрами, как показано на рисунке

Определение графика

Графиком уравнения с двумя переменными х и у, называется множество точек на ху-плоскости, координаты которых являются членами множества решений этого уравнения

Пример: нарисовать график y = x2

Это приближении к графику y = x2

Пример: нарисовать график y = 1/x

Из-за того, что 1/x не определено, когда x=0, мы можем построить только точки, для которых x ≠0

Пример: Найдите все пересечения с осями
(a) 3x + 2y = 6
(b) x = y2-2y
(c) y = 1/x

Решение:

Пусть y = 0, тогда 3x = 6   or   x = 2

является искомой точкой пересечения оси x.

Установив, что х=0, найдем что точкой пересечения оси у является точка у=3.

Таким эе образом вы можете решить уравнение (b), а решения для (c) приведено ниже

y = 1/x

x-пересечение

Пусть y = 0

1/x = 0 => x не может быть определено, то есть нет пересечения с осью у

Пусть x = 0

y = 1/0 => y также не определено, => нет пересечения с осью y

На рисунке внизу точки (x,y), (-x,y),(x,-y) и (-x,-y) обозначают углы прямоугольника.

• график симметричен относительно оси х, если для каждой точки (x,y) графика, точка (x,-y) есть также точкой на графике.

• график симметричен относительно оси y, если для каждой точки графика (x,y) точка (-x,y) также принадлежит графику.

• график симметричен относительно центра координат, если для каждой точки (x,y) графика, точка (-x,-y) также принадлежит этому графику.

Определение:

График функциина координатной плоскости определяется как график уравнения y = f(x)

Пример 1

Постройте график f(x) = x + 2

y = x + 2

Пример 2. Постройте график f(x) = |x|

y = |x|

x

y = x2

(x,y)

0

0

(0,0)

1

1

(1,1)

2

4

(2,4)

3

9

(3,9)

-1

1

(-1,1)

-2

4

(-2,4)

-3

9

(-3,9)

X

y=1/x

(x,y)

1/3

3

(1/3,3)

1/2

2

(1/2,2)

1

1

(1 ,1)

2

1/2

(2,1/2)

3

1/3

(3,1/3)

-1/3

-3

(-1/3 , -3)

-1/2

-2

(-1/2 , -2)

-1

-1

(-1 , -1)

-2

-1/2

(-2, -1/2)

-3

-1/3

(-3,-1/3)

|x| =

x если x ≥ 0, т.e. x — не отрицательно

-x если x

График совпадает с линией y = x         для x> 0 и с линией y = -x

для x < 0 .

graph of f(x) = -x

Соединяя эти два графика, мы получаем

график f(x) = |x|

Пример 3. Постройте график

t(x) = (x2— 4)/(x — 2) =

= ((x — 2)(x + 2)/(x — 2)) =

= (x + 2)       x ≠ 2

Следовательно, эта функция может быть записана в виде

y = x + 2            x ≠ 2

График h(x)= x2 — 4 Or                     x — 2

график y = x + 2 x ≠ 2

Пример 4. Постройте график

g(x) =

1      если x ≤ 2

x + 2      если x > 2

Графики функций с перемещением

— Предположим, что график функции f(x) известен

— Тогда мы можем найти графики

y = f(x) + c

y = f(x) — c

y = f(x + c)

y = f(x — c)

y = f(x) + c          — график функции f(x), перемещённый

ВВЕРХ на c значений

y = f(x) — c          — график функции f(x), перемещённый

ВНИЗ на c значений

y = f(x + c)          — график функции f(x), перемещённый

ВЛЕВО на c значений

y = f(x — c)          — график функции f(x), перемещённый

Вправо на c значений

Пример 5. Постройте

график y = f(x) = |x — 3| + 2

Переместим график y = |x| на 3 значения ВПРАВО, чтобы получить график

y = |x-3|

Переместим график y = |x — 3| на 2 значения ВВЕРХ, чтобы получить график y = |x — 3| + 2

Пример 8

Постройте график

y = x2 — 4x + 5

Преобразуем заданное уравнение следующим образом, прибавив к обеим частям 4:

y + 4 = (x2 — 4x + 5) + 4 y = (x2 — 4x + 4) + 5 — 4

y = (x — 2)2 + 1

Здесь мы видим, что этот график может быть получен перемещением графика y = x2 вправо на 2 значения, потому что x — 2, и вверх на 1 значение, потому что +1.

y = x2 — 4x + 5

Отражения

(-x, y) есть отражением (x, y) относительно оси y

(x, -y) есть отражением (x, y) относительно оси x

Графики y = f(x) и y = f(-x) являются отражением друг друга относительно оси y

Графики y = f(x) и y = -f(x) являются отражением друг друга относительно оси x

График может быть получен отражением и перемещением:

— Нарисуйте график

— Найдём его отражение относительно оси y, и получим график

— Переместим этот график вправо на 2 значения и получим график

Вот искомый график

Если f(x) умножена на положительною постояную c, то

график f(x) сжимается по вертикали, если 0 < c < 1

график f(x) растягивается по вертикали, если c > 1

Кривая не является графиком y = f(x) для любой функции f

Калькулятор площади

Ниже приведены калькуляторы для вычисления площади семи обычных фигур. Площадь более сложных форм обычно можно получить, разбив их на простые формы и суммируя их площади. Этот калькулятор особенно полезен для оценки площади земли.

Прямоугольник


Треугольник

Используйте Калькулятор треугольника, чтобы определить
все три стороны треугольника
с учетом других параметров.


Трапеция


Круг


Сектор


Эллипс


Параллелограмм


Калькулятор площади связанной поверхности | Калькулятор объема

Площадь — это величина, описывающая размер или степень двумерной фигуры или фигуры на плоскости.Его можно визуализировать как количество краски, необходимое для покрытия поверхности, и это двумерный аналог одномерной длины кривой и трехмерного объема твердого тела. Стандартной единицей площади в Международной системе единиц (СИ) является квадратный метр, или м 2 . Ниже приведены уравнения для некоторых наиболее распространенных простых форм и примеры расчета площади каждой из них.

Прямоугольник

Прямоугольник – это четырехугольник с четырьмя прямыми углами.Это одна из самых простых форм, и для вычисления ее площади требуется только, чтобы ее длина и ширина были известны (или могли быть измерены). Четырехугольник по определению — это многоугольник, который имеет четыре ребра и вершины. В случае прямоугольника длина обычно относится к двум более длинным ребрам четырехугольника, а ширина относится к более короткому из двух краев. Когда длина и ширина прямоугольника равны, форма представляет собой частный случай прямоугольника, называемый квадратом. Уравнение для вычисления площади прямоугольника выглядит следующим образом:

площадь = длина × ширина

Фермер и его дочь – непроданная земля

Представьте себе фермера, который пытается продать участок земли идеальной прямоугольной формы.Поскольку у него есть несколько коров, которых он не хотел свободно резвить, он огородил участок земли и знал точную длину и ширину каждого края. Фермер также живет в Соединенных Штатах и, будучи незнакомым с использованием единиц СИ, по-прежнему измеряет свой участок земли в футах. В 1959 году было определено, что длина стопы составляет ровно 0,3048 метра после того, как она менялась в течение длительного периода времени, поскольку исторически человеческое тело часто использовалось в качестве основы для единиц длины и, что неудивительно, было непоследовательным в зависимости от времени и места.По касательной, участок земли фермера имеет длину 220 футов и ширину 99 футов. Используя эту информацию:

площадь = 220 × 99 = 21780 кв. футов

Участок земли фермера площадью 21 780 квадратных футов равен половине акра, где акр определяется как площадь 1 цепь на 1 фарлонг, которая определяется чем-то другим, и так далее, и почему сейчас существует SI. К несчастью для фермера, он живет в районе, где преобладают иностранные инвесторы с меньшим размером ноги, которые считали, что за свои деньги они должны получить больше квадратных футов, и его земля до сих пор не продана.

Треугольник

Существует множество уравнений для расчета площади треугольника на основе доступной информации. Как упоминалось в приведенном выше калькуляторе, пожалуйста, используйте калькулятор треугольника для получения более подробной информации и уравнений для расчета площади треугольника, а также для определения сторон треугольника с использованием любой доступной информации. Вкратце, уравнение, используемое в приведенном выше калькуляторе, известно как формула Герона (иногда называемая формулой Герона), относящаяся к александрийскому герою, греческому математику и инженеру, которого некоторые считают величайшим экспериментатором древности.Формула выглядит следующим образом:

Фермер и его дочь — Triangle Daze

На данный момент, благодаря огромным усилиям и настойчивости, фермер, наконец, продал свой участок земли площадью 21 780 квадратных футов и решил использовать часть заработанных денег, чтобы построить бассейн для своей семьи. К несчастью для фермера, он не принимает во внимание тот факт, что расходы на обслуживание бассейна только в течение одного года могли бы покрыть расходы его детей на посещение любого бассейна или тематического аквапарка на долгие годы вперед.К еще большему несчастью для фермера, его 7-летняя дочь, которая недавно путешествовала в Египет через Дору-путешественницу, влюбилась в треугольники и настаивает на том, чтобы бассейн был не только треугольной формы, но и чтобы размеры должна включать только число 7, чтобы обозначить ее возраст и увековечить этот момент ее жизни в виде треугольного бассейна. Будучи любящим отцом, фермер соглашается на просьбу своей дочери и приступает к планированию строительства своего треугольного бассейна.Теперь фермер должен определить, достаточно ли у него на заднем дворе площади для размещения бассейна. Хотя фермер начал больше узнавать о единицах СИ, он все еще чувствует себя некомфортно в их использовании и решает, что его единственный жизнеспособный вариант — построить бассейн в форме равностороннего треугольника со стороной 77 футов в длину, поскольку любой другой вариант будет либо слишком большим, либо маленьким. Учитывая эти размеры, фермер определяет необходимую площадь следующим образом:

Поскольку самое длинное расстояние между любыми двумя точками равностороннего треугольника равно длине ребра треугольника, фермер резервирует края бассейна для плавательных «кругов» в своем треугольном бассейне с максимальной длиной примерно вдвое меньше, чем у олимпийского бассейна. бассейн, но с удвоенной площадью – и все это под пристальным взглядом председательствующей королевы бассейна, его дочери и неодобрительного взгляда жены.

Трапеция

Трапеция — это простой выпуклый четырехугольник, у которого есть хотя бы одна пара параллельных сторон. Свойство быть выпуклым означает, что угол трапеции не превышает 180 ° (в отличие от вогнутого четырехугольника), в то время как простота отражает, что трапеции не пересекаются, то есть две несмежные стороны не пересекаются. В трапеции параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны называются катетами.Существует больше различий и классификаций для различных типов трапеций, но их площади по-прежнему рассчитываются таким же образом, используя следующее уравнение:

где b 1 и b 2 — основания. h — высота или перпендикулярное расстояние между основаниями

Фермер и его дочь — Ramping Endeavours

Прошло два года с тех пор, как бассейн фермера был построен, а его дочь выросла и повзрослела.Хотя ее любовь к треугольникам все еще сохраняется, она в конце концов пришла к пониманию того, что независимо от того, насколько хорошо «треугольной» она была, одни только треугольники не могут заставить мир вращаться, и что мастерская Санты не могла бы правдоподобно балансировать на Северном полюсе, если бы Мир пирамида, а не сфера. Постепенно она начала принимать другие формы в своей жизни и преследует множество разных интересов — в настоящее время фристайл BMX. Таким образом, ей требуется пандус, но, к сожалению для фермера, не любой пандус.Пандус должен состоять только из форм, которые могут быть сформированы из нескольких треугольников, поскольку, как и ее рэп-кумир Б.о.Б., дочь фермера до сих пор с трудом принимает реальность изогнутых поверхностей. Конечно, он также должен использовать только число 9 в своих измерениях, чтобы отразить ее возраст. Фермер решает, что его лучший вариант — построить пандус, состоящий из нескольких прямоугольников, причем боковая сторона пандуса имеет форму трапеции. Поскольку фермер теперь стал более комфортно работать с SI, он может более творчески использовать юниты и может построить пандус более разумного размера, придерживаясь требований своей дочери.Он решает построить пандус с трапециевидным лицом высотой 9 футов, нижним основанием длиной 29,528 футов (9 м) и верхним основанием 9 футов. Площадь трапеции рассчитывается следующим образом:

площадь = × 9 = 173,376 кв. футов

Круг

Окружность — это простая замкнутая форма, образованная множеством всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии от данной центральной точки. Это расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом.Более подробную информацию о кругах можно найти на странице «Калькулятор окружности», но для расчета площади необходимо знать только радиус и понимать, что значения в круге связаны через математическую константу π . Уравнение для вычисления площади круга выглядит следующим образом:

площадь = πr 2

Фермер и его дочь – Круг жизни

Прошло еще шесть лет, и его дочь превратилась в сильную, красивую, влиятельную, уверенную в себе 15-летнюю неблагодарную девушку, сосредоточенную исключительно на поиске внешнего подтверждения от знакомых и незнакомцев в социальных сетях, полностью игнорируя искреннюю поддержку со стороны ближайших родственников и друзей. .Поспорив с отцом из-за чрезмерного использования ею социальных сетей, она решает воспользоваться страхом отца перед неизвестным и верой в сверхъестественное, чтобы разыграть его. Не зная, с чего начать, она ходит по городу, разговаривая с разными незнакомцами, у каждого из которых, кажется, есть бесконечные источники мудрости и совета, где она узнает о кругах на полях и их связи с инопланетянами и неопознанными летающими объектами, а также о многих других темах, которые волнуют ее. игнорировать все научные и логические объяснения.Окончательно убедившись в сферической природе Земли, удалив все свои прошлые сообщения в социальных сетях, касающиеся Б.о.Б., и расширив свою любовь к треугольникам до принятия других форм, она решает сделать базовый круг на полях, состоящий из ряда концентрических кругов и хочет определить площадь, необходимую для создания кругов на полях с внешним радиусом 15 футов. Она делает это, используя следующее уравнение:

площадь = π × 15 2 = 706,858 кв. футов

К несчастью для фермера, он не только напуган кругами на полях, появившимися ночью в ту ночь, когда его дочь сказала ему, что была на пижамной вечеринке со своими друзьями, что по какой-то странной причине не привело к излишним постам в Instagram (он был, конечно, первым последователем его дочери), но количество «исследователей кругов» и «цереологов», появлявшихся на его ферме для изучения и последующего подтверждения подлинности кругов на полях как инопланетной конструкции, стоило ему значительного ущерба его посевам. .

Сектор

Сектор круга — это часть круга, заключенная в два радиуса и дугу. Зная радиус и угол, площадь сектора можно рассчитать, умножив площадь всего круга на отношение известного угла к 360° или 2π радианам, как показано в следующем уравнении:

площадь =  × πr 2     если θ в градусах

или

площадь =  × πr 2     если θ в радианах

Фермер и его дочь – раздел семьи

Фермер и его семья столкнулись с самой серьезной дилеммой на сегодняшний день.Прошел год, дочери фермера исполнилось 16 лет, и в рамках празднования ее дня рождения ее мать испекла ее любимый десерт — пирог с ежевикой. К несчастью для дочери фермера, пирог с ежевикой также оказался любимой едой их домашнего енота, Утконоса, о чем свидетельствует отсутствие пирога на 180° с явными признаками виновника в виде крошек, ведущих к чрезмерно снисходительному еноту. Поначалу пирог легко можно было разделить между тремя людьми и одним енотом, но теперь половину пирога приходится делить между тремя людьми, на что огорченный, но сытый Утконос наблюдает издалека.Учитывая, что каждый человек получит 60° пирога с радиусом 16 дюймов, площадь пирога, который получит каждый человек, можно рассчитать следующим образом:

площадь = 60°/360° × π × 16 2 = 134,041 дюйма 2

В результате невнимательности Утконоса каждому достается на треть меньше пирога, а дочь задумчиво вспоминает урок американской истории, где она узнала о битве при Аламо и изображении народного героя Дэви Крокетта и его енотовой шапке.

Эллипс

Эллипс — это обобщенная форма окружности и кривая на плоскости, где сумма расстояний от любой точки кривой до каждой из двух ее фокусных точек постоянна, как показано на рисунке ниже, где P равно любая точка эллипса, а F 1 и F 2 — два фокуса.

Когда F 1 = F 2 , результирующий эллипс представляет собой круг. Большая полуось эллипса, как показано на рисунке, являющемся частью калькулятора, представляет собой самый длинный радиус эллипса, а малая полуось — самый короткий.Большая и малая оси относятся к диаметру, а не к радиусу эллипса. Уравнение для вычисления площади эллипса похоже на уравнение для вычисления площади круга, с той лишь разницей, что используются два радиуса, а не один (поскольку фокусы находятся в одном и том же месте для круга):

площадь = πab
, где a и b — полубольшие и малые полуоси

Фермер и его дочь – падение с орбиты

Прошло два года после загадочного исчезновения домашнего питомца Утконоса и случайного выигрыша дочерью фермера пушистого аксессуара в школьной лотерее, что помогло заполнить пустоту потери любимого питомца.Дочери фермера сейчас 18 лет, и она готова сбежать из сельской местности Монтаны ради жизни в колледже, полной свободы и разврата, и, конечно же, попутного обучения. К несчастью для дочери фермера, она росла в среде, наполненной позитивным подкреплением и, следовательно, менталитетом, согласно которому нужно «стрелять в луну, [поскольку] даже если промахнешься, ты приземлишься среди звезд», а также утверждение всех вокруг нее, что она может сделать абсолютно все, что захочет! Таким образом, с ее субоптимальными оценками, отсутствием какой-либо внеклассной деятельности из-за множества различных интересов, отнимающих все ее свободное время, нулевым планированием и ее настойчивым стремлением поступать только в самые лучшие из лучших университетов, шок, который произошел, когда она не была принята ни в один из ведущих университетов, в которые она подавала документы, можно было бы разумно сравнить с ее метафорическим приземлением в глубоком космосе, раздуванием, замерзанием и быстрым удушьем, когда она промахнулась мимо луны и приземлилась среди звезд.Вместе с ее легкими ее мечта стать астрофизиком была внезапно разрушена, по крайней мере, на данный момент, и ей пришлось вычислять эллиптическую площадь, необходимую в ее комнате, чтобы построить модель почти эллиптической орбиты Земли вокруг Солнца в человеческий рост. чтобы она могла с тоской смотреть на солнце в центре своей комнаты и его олицетворение ее сердца, горящего страстью, но окруженного холодным простором космоса, с далеким вращением Земли, насмешливо представляющим расстояние между ее мечтами и твердой землей. .

площадь = π × 18 футов × 20 футов = 1130,97 кв. футов

Параллелограмм

Параллелограмм — это простой четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон, причем противоположные стороны и углы четырехугольника имеют равные длины и углы. Прямоугольники, ромбы и квадраты являются частными случаями параллелограммов. Помните, что классификация «простой» формы означает, что форма не является самопересекающейся. Параллелограмм можно разделить на прямоугольный треугольник и трапецию, которые можно перестроить, чтобы сформировать прямоугольник, что делает уравнение для вычисления площади параллелограмма практически таким же, как и для вычисления прямоугольника.Однако вместо длины и ширины параллелограмм использует основание и высоту, где высота — это длина перпендикуляра между парой оснований. На основании рисунка ниже уравнение для вычисления площади параллелограмма выглядит следующим образом:

площадь = b × h

Фермер и его дочь – Бриллиант в небе

Прошло еще два года в жизни фермера и его семьи, и хотя его дочь была причиной сильного беспокойства, она наконец преодолела расстояние между сияющим солнцем, которое является ее сердцем, и Землей, на которой настаивает общество. она должна оставаться заземленной.Через борьбу, которая последовала из-за ее добровольной изоляции, окруженная воображаемыми осуждающими глазами, предполагающими ее неудачу со всех сторон, дочь фермера вышла из-под давления Земли, как алмаз, ярко сияя и твердая в своей решимости. Несмотря на все его недостатки, она решает, что у нее нет другого выбора, кроме как упорствовать в астероидном поле жизни в надежде, что существует финал диснеевской сказки. В конце концов, к счастью для дочери фермера и ее семьи, появляется надежда, но не в образе Прекрасного принца, а скорее как знак предполагаемых небес.Несмотря на все ее метафорические размышления и невзгоды, связанные с космосом, становится почти правдоподобным, что дочь фермера каким-то образом повлияла на массивный восьмигранный алмазный астероид, падающий прямо, но безопасно на их сельскохозяйственные угодья, что она интерпретирует как представление ее путешествия, становления и возможное возвращение домой. Дочь фермера продолжает измерять площадь одной из ромбовидных граней своего недавно найденного символа жизни:

.

площадь = 20 футов × 18 футов = 360 кв. футов

К несчастью для дочери фермера, появление огромного алмаза привлекло внимание со всего мира, и после достаточного давления она уступает человеческому внутреннему состоянию и продает алмаз, воплощение ее жизни и души, некоему богатый коллекционер, и продолжает жить остаток своей жизни в щедрой роскоши, отказываясь от своих убеждений и теряясь в черной дыре общества.


Места общего пользования

90 000
Unit Область в М 2
квадратный метр Si Unit
Hectare
гектаров
квадратных километра (км 2 ) 1 000 000
площадь oep 0.0929
квадратный двор 0.8361
(43 5660 квадратных футов)
квадратных миль
квадратных миль 2,589 988 (640 акров)

Система 2 линейных уравнений в 2 Калькулятор переменных

[1]  2021/11/08 17:08   Младше 20 лет / Высшая школа/ Университет/ Аспирант / Полезное /

Комментарий/Запрос
2]  12.08.2021 11:08   50-летний уровень / Высшая школа/ Университет/ Аспирант / Полезное /

Цель использования
Самому лень считать, смотрю для сравнения/подтверждения статистики COVID.
Комментарий/Запрос
Сэкономил мне время на калькуляторе.

[3]  2021/01/28 01:36   Младше 20 лет / Начальная школа/ Учащийся средней школы / Очень /

Цель использования
Учебное пособие
Комментарий/Запрос
Очень полезно для быстрые ответы на 2 уравнения.

[4]  20/01/2021 11:31   20-летний уровень / Средняя школа/ Университет/ Аспирант / Полезный /

Цель использования
, чтобы узнать, как его использовать.

[5]  2020/12/01 10:17   60 лет и старше / Инженер / Полезно /

Назначение
Для проекта строительства моста
Комментарий/Запрос
3 полезно для инженеров2

[6]  2020/07/23 05:40   Младше 20 лет / Высшая школа/ Университет/ Аспирант / Очень хорошо /

Цель использования
Решение статистики
Комментарий/запрос
3 Довольно хорошо 2

[7]  2020/06/23 03:09   Младше 20 лет / Начальная школа/ Младший школьник / Немного /

Замечание/Запрос
не умеет считать с корнями

[8 ]  20/03/2020 20:46   Младше 20 лет / Начальная школа/ Учащийся средней школы / Полезное /

Цель использования
математическая презентация/застрял на двух линейных уравнениях

[9]  2019/11 /23 12:00   До 20 лет/Средняя школа/ Университет/ Выпускник студент / очень /

Цель использования
Не терять время.

[10]  2019/10/15 11:25   Младше 20 лет / Старшая школа/ Университет/ Аспирант / Совсем нет /

Цель использования
не хочу решать
Комментарий /Request
просто оставьте его в дробях НЕ НУЖНО РЕШАТЬ в десятичных дробях

Графические уравнения с пошаговым решением математических задач

Язык математики особенно эффективен в представлении отношений между двумя и более переменными.В качестве примера рассмотрим пройденное расстояние через некоторое время на автомобиле, движущемся с постоянной скоростью 40 миль в час. Мы можем представить эту связь как

  1. 1. Словесное предложение:
    Пройденное расстояние в милях равно сорокакратному количеству пройденных часов.
  2. 2. Уравнение:
    d = 40р.
  3. 3. Табуляция значений.
  4. 4. График, показывающий зависимость между временем и расстоянием.

Мы уже использовали словесные предложения и уравнения для описания таких отношений; в этой главе мы будем иметь дело с табличными и графическими представлениями.

7.1 Решение уравнений с двумя переменными

ЗАКАЗАННЫЕ ПАРЫ

Уравнение d = 40f связывает расстояние d для каждого момента времени t. Например,


если t = 1, то d = 40
если t = 2, то d = 80
если t = 3, то d = 120

и так далее.

Пара чисел 1 и 40, рассматриваемая вместе, называется решением уравнение d = 40r, потому что, когда мы подставляем 1 вместо t и 40 вместо d в уравнении, получаем истинное утверждение. Если мы согласны ссылаться на парные числа в указанном порядок, в котором первая цифра относится ко времени, а вторая цифра к расстояние, мы можем сократить приведенные выше решения как (1, 40), (2, 80), (3, 120) и скоро.Мы называем такие пары чисел упорядоченными парами, а первую и вторые числа в парах как компоненты. По этому соглашению решения уравнение d — 40t — это упорядоченные пары (t, d), компоненты которых удовлетворяют уравнению. Некоторые упорядоченные пары для t, равные 0, 1, 2, 3, 4 и 5, равны

.

(0,0), (1,40), (2,80), (3,120), (4,160) и (5,200)

Такие пары иногда отображаются в одной из следующих табличных форм.

В любом конкретном уравнении с двумя переменными, когда мы присваиваем значение одной переменных, определяется значение другой переменной и, следовательно, зависит от первого.Удобно говорить о переменной, связанной с первая компонента упорядоченной пары как независимая переменная и переменная ассоциируется со вторым компонентом упорядоченной пары как зависимая переменная. Если переменные x и y используются в уравнении, подразумевается, что замена ции для x являются первыми компонентами и, следовательно, x является независимой переменной и замены для y являются вторыми компонентами и, следовательно, y является зависимой переменной. Например, мы можем получить пары для уравнения

путем подстановки конкретного значения одной переменной в уравнение (1) и решения для другая переменная.

Пример 1

Найдите недостающий компонент так, чтобы упорядоченная пара была решением задачи

.

2х + у = 4

а. (0,?)

б. (1,?)

в. (2,?)

Решение

если x = 0, то 2(0) + y = 4
y = 4

если x = 1, то 2(1) + y = 4
y = 2

если x = 2, то 2(2) + y = 4
y = 0

Три пары теперь могут отображаться как три упорядоченные пары

(0,4), (1,2) и (2,0)

или в табличных формах

ЯВНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ПЕРЕМЕННОЙ

Мы можем добавить -2x к обоим элементам 2x + y = 4, чтобы получить

-2х + 2х + у = -2х + 4
у = -2х + 4

В уравнении (2), где y сам по себе, мы говорим, что y выражается явно через термины х.Часто бывает легче получить решения, если уравнения сначала выразить в такой форме потому что зависимая переменная явно выражается через независимую переменная.

Например, в уравнении (2) выше

если x = 0, то y = -2(0) + 4 = 4
если x = 1, то y = -2(1) + 4 = 2
если x = 2, то y = -2(2) + 4 = 0

Мы получаем те же пары, что и с помощью уравнения (1)

(0,4), (1,2) и (2,0)

Мы получили уравнение (2), добавив одно и то же количество, -2x, к каждому элементу уравнения (1), таким образом получая y сам по себе.В общем, мы можем написать эквивалент уравнения с двумя переменными, используя свойства, которые мы ввели в главе 3, где мы решали уравнения первой степени с одной переменной.

Уравнения эквивалентны, если:

  1. Одно и то же количество прибавляется или вычитается из равных количеств.
  2. Равные величины умножаются или делятся на одну и ту же ненулевую величину.

Пример 2

Решите 2y — 3x = 4 явно для y через x и получите решения для x = 0, х = 1 и х = 2.

Решение
Во-первых, прибавив 3x к каждому члену, мы получим

2у — 3х + 3х = 4 + 3х
2у = 4 + 3х (продолжение)

Теперь, разделив каждый член на 2, получим

В этой форме мы получаем значения y для заданных значений x следующим образом:

В этом случае три решения: (0, 2), (1, 7/2) и (2, 5).

ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ОБОЗНАЧЕНИЕ

Иногда мы используем специальное обозначение для обозначения второго компонента упорядоченного пара, соединенная с указанным первым компонентом.Символ f(x), который часто используется для обозначения алгебраического выражения в переменной x, может также использоваться для обозначения значение выражения для конкретных значений x. Например, если

f(x) = -2x + 4

, где f(x) играет ту же роль, что и y в уравнении (2) на стр. 285, тогда f(1) представляет значение выражения -2x + 4 при замене x на 1

f(l) = -2(1) + 4 = 2

Аналогично,

f(0) = -2(0) + 4 = 4

и

f(2) = -2(2) + 4 = 0

Символ f(x) обычно называют функциональной записью.

Пример 3

Если f(x) = -3x + 2, найти f(-2) и f(2).

Решение

Замените x на -2, чтобы получить
f(-2) = -3(-2) + 2 = 8

Замените x на 2, чтобы получить
f(2) = -3(2) + 2 = -4

7.2 ГРАФИК УПОРЯДОЧЕННЫХ ПАР

В разделе 1.1 мы видели, что каждое число соответствует точке на прямой. Сими- На практике каждая упорядоченная пара чисел (x, y) соответствует точке на плоскости. К построить упорядоченную пару чисел, начнем с построения пары перпендикулярных числовые линии, называемые осями.Горизонтальная ось называется осью x, вертикальная ось называется осью у, а точка их пересечения — началом координат. Эти оси разделите плоскость на четыре квадранта, как показано на рис. 7.1.

Теперь мы можем сопоставить упорядоченную пару чисел с точкой на плоскости, обратившись до перпендикулярного расстояния точки от каждой из осей. Если первый составляющая положительна, точка лежит правее вертикальной оси; если отрицательный, то лежит слева.Если вторая компонента положительна, то точка лежит выше Горизонтальная ось; если отрицательный, он лежит ниже.

Пример 1

График (3, 2), (-3, 2), (-3, -2) и (3, -2) в прямоугольной системе координат.

Решение
График (3, 2) лежит на 3 единицы правее по оси Y и на 2 единицы выше оси X; график (-3,2) лежит на 3 единицы левее ось у и на 2 единицы выше оси х; график (-3, -2) лежит на 3 единицы левее по оси Y и на 2 единицы ниже оси X; график (3, -2) лежит на 3 единицы правее по оси Y и на 2 единицы ниже оси X.

Расстояние y, на котором точка расположена от оси x, называется ординатой. точки, а расстояние x, на котором точка расположена от оси y, называется абсцисса точки. Абсцисса и ордината вместе называются прямоугольником. угловые или декартовы координаты точки (см. рис. 7.2).

7.3 ГРАФИК УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

В разделе 7.1 мы видели, что решение уравнения с двумя переменными является упорядоченным пара.В разделе 7.2 мы видели, что компоненты упорядоченной пары — это координаты точки на плоскости. Таким образом, чтобы построить уравнение с двумя переменными, мы график набора упорядоченных пар, являющихся решениями уравнения. Например, мы может найти некоторые решения уравнения первой степени

у = х + 2

, приравняв x к 0, -3, -2 и 3. Тогда

для x = 0, y=0+2=2
для x = 0, y = -3 + 2 = -1
для x = -2, y = -2 + 2 — 0
для x = 3, y = 3 + 2 = 5

и получаем решения

(0,2), (-3,-1), (-2,0) и (3,5)

, который можно отобразить в табличной форме, как показано ниже.

Если мы нарисуем точки, определенные этими упорядоченные пары и проходят прямую через из них, мы получаем граф всех решений y = x + 2, как показано на рис. 7.3. То есть, каждое решение y = x + 2 лежит на прямой, и каждая точка на прямой является решением у = х + 2,

Графики уравнений первой степени в двух переменные всегда прямые; поэтому, такие уравнения также называются линейными уравнения.

В приведенном выше примере значения, которые мы использовали для х выбраны случайно; мы могли бы использовать любые значения x, чтобы найти решения уравнения.Графики любых других упорядоченных пар, являющихся решениями уравнения, также будут находиться на линии, показанной на рисунке 7.3. В самом деле, каждое линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечное число решений, график которых лежит на прямой. Однако мы только необходимо найти два решения, поскольку для определения прямая линия. Третье очко можно получить в качестве чека.

Для построения графика уравнения первой степени:

  1. Построить набор прямоугольных осей, показывающих масштаб и представление переменной отправлено каждой осью.
  2. Найдите две упорядоченные пары, являющиеся решениями уравнения, которое необходимо изобразить с помощью присваивая любое удобное значение одной переменной и определяя соответствующее соответствующее значение другой переменной.
  3. Постройте график этих упорядоченных пар.
  4. Проведите прямую через точки.
  5. Проверьте, построив график третьей упорядоченной пары, которая является решением уравнения и убедитесь, что он лежит на линии.

Пример 1

Нарисуйте уравнение y = 2x — 6.

Решение
Сначала мы выбираем любые два значения x, чтобы найти соответствующие значения y.
Мы будем использовать 1 и 4 для x.
Если x = 1, y = 2(1) — 6 = -4
если x = 4, y = 2(4) — 6 = 2
Таким образом, двумя решениями уравнения являются
(1, -4) и (4, 2).
Затем мы рисуем эти упорядоченные пары и проводим прямую линию через точки, как показано на рисунке. на рисунке. Мы используем стрелки, чтобы показать, что линия простирается бесконечно далеко в обоих направлениях. Любая третья упорядоченная пара, удовлетворяющая уравнение можно использовать в качестве проверки:
если x = 5, y = 2(5) -6 = 4
Тогда заметим, что график (5, 4) также лежит на прямой
Чтобы найти решения уравнения, как мы уже отмечали, часто проще всего сначала решить явно для y через x.

Пример 2

График х + 2у = 4.

Решение
Сначала мы вычисляем у через х, чтобы получить

Теперь мы выбираем любые два значения x, чтобы найти соответствующие значения y. Мы будем использовать 2 и 0 для х.

Таким образом, двумя решениями уравнения являются (2, 1) и (0, 2).

Затем мы рисуем эти упорядоченные пары и провести прямую через точки, так как показано на рисунке.

Любая третья упорядоченная пара, удовлетворяющая уравнение можно использовать в качестве проверки:

Затем заметим, что график (-2, 3) также лежит на линии.

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Уравнение y = 2 можно записать как

0х + у = 2

и может рассматриваться как линейное уравнение в двух переменных, где коэффициент x равен 0. Некоторые решения 0x + y = 2 равны

(1,2), (-1,2) и (4,2)

На самом деле любая упорядоченная пара вида (x, 2) является решение (1). Графики решений дает горизонтальную линию, как показано на рисунке 7.4.

Аналогичным образом, такое уравнение, как x = -3, может быть записано как

х + 0у = -3

и может рассматриваться как линейное уравнение в двух переменные, где коэффициент y равен 0.

Некоторые решения x + 0y = -3 являются (-3, 5), (-3, 1) и (-3, -2). На самом деле любой упорядоченная пара вида (-3, y) является решением из (2). График решений дает вертикальную линию, как показано на рисунке 7.5.

Пример 3

График

а. у = 3
б. х=2

Раствор
а. Мы можем записать y = 3 как Ox + y = 3.
Некоторыми решениями являются (1, 3), (2,3) и (5, 3).

б. Мы можем записать x = 2 как x + Oy = 2.
Некоторыми решениями являются (2, 4), (2, 1) и (2, -2).

7.4 МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА

В разделе 7.3 мы присвоили значения x в уравнениях с двумя переменными, чтобы найти соответствующие значения y. Решения уравнения с двумя переменными, которые обычно легче всего найти те, в которых либо первый, либо второй компонент 0. Например, если мы подставим 0 вместо x в уравнении

3x + 4y = 12

у нас есть

3(0) + 4у = 12
у = 3

Таким образом, решением уравнения (1) является (0, 3).Мы также можем найти упорядоченные пары, которые решения уравнений с двумя переменными путем присвоения значений y и определения соответствующие значения х. В частности, если мы заменим 0 на y в уравнении (1), мы получить

3х + 4(0) = 12
х = 4

а второе решение уравнения есть (4, 0). Теперь мы можем использовать упорядоченные пары (0, 3) и (4, 0) к графику уравнения (1). График показан на рисунке 7.6. Уведомление что линия пересекает ось x в точке 4 и ось y в точке 3. По этой причине число Число 4 называется точкой пересечения x графика, а число 3 — точкой пересечения y.

Этот метод построения графика линейного уравнения называется перехватом метод построения графиков. Обратите внимание, что когда мы используем этот метод построения графика линейной уравнение, то нет никакого смысла сначала явно выражать y через x.

Пример 1

График 2x — y = 6 методом перехвата.

Решение
Мы находим точку пересечения x, подставляя 0 вместо y в уравнение, чтобы получить

2х — (0) = 6
2х = 6
х = 3

Теперь мы находим y-пересечение, заменяя для x в уравнении получить

2(0) — у = 6
-у = 6
у = -6

Упорядоченные пары (3, 0) и (0, -6) являются решениями 2x — y = 6.График этих точек и соединив их прямой линией, получим график 2x — y = 6. Если график пересекает оси в начале координат или вблизи него, метод перехвата не работает. удовлетворительный. Затем мы должны построить график упорядоченной пары, являющейся решением уравнения и чей график не является началом координат или не слишком близок к началу координат.

Пример 2

График у = 3x.

Решение
Мы можем подставить 0 вместо x и найти
y = 3(0) = 0
Аналогично, подставив 0 вместо y, мы получим
0 = 3.x, x = 0
Таким образом, 0 является точкой пересечения как x, так и y.

Так как одной точки недостаточно для графика = 3x, мы прибегаем к методам, изложенным в Раздел 7.3. Выбрав любое другое значение x, скажем, 2, мы получим

.

у = 3(2) = 6

Таким образом, (0, 0) и (2, 6) являются решениями уравнение. График y = 3x показан на Правильно.

7.5 НАКЛОН ЛИНИИ

ФОРМУЛА СКЛОНА

В этом разделе мы изучим важное свойство линии.Мы назначим число к линии, которую мы называем наклоном, которая даст нам меру «крутизны» или «направление» линии.

Часто удобно использовать специальное обозначение, чтобы различать прямоугольные координаты двух разных точек. Мы можем обозначить одну пару координат на (x 1 , y 1 (читается «x меньше единицы, y меньше единицы»), связанной с точкой P 1 , и второй пару координат (x 2 , y 2 ), связанных со второй точкой P 2 , как показано на рисунке 7.7. Обратите внимание на рис. 7.7, что при переходе от P 1 к P 2 вертикальное изменение (или расстояние по вертикали) между двумя точками равно y 2 — y 1 , а горизонтальное изменение (или расстояние по горизонтали) равно x 2 — x 1 .

Отношение вертикального изменения к горизонтальному называется наклоном линия, содержащая точки P 1 и P 2 . Это соотношение обычно обозначают m. Таким образом,

Пример 1

Найдите наклон линии, содержащей два точки с координатами (-4, 2) и (3, 5) как показано на рисунке справа.

Решение
Обозначим (3, 5) как (x 2 , y 2 ) и (-4, 2) как (х 1 , у 1 ). Подставляя в уравнение (1) дает

Обратите внимание, что мы получим тот же результат, если подставим -4 и 2 вместо x 2 и y 2 и 3 и 5 для x 1 и y 1

Линии с различным наклоном показаны на рисунке 7.8 ниже. Наклоны линий, которые вверх вправо положительны (рис. 7.8а) и наклоны линий, идущих вниз справа отрицательны (рис. 7.8б). И обратите внимание (рис. 7.8c), поскольку все точки на горизонтальной линии имеют одинаковое значение y, y 2 — y 1 равно нулю для любых двух точек и наклон линии просто

Также обратите внимание (рис. 7.8c), что, поскольку все точки на вертикали имеют одинаковое значение x, x 2 — x 1 равно нулю для любых двух точек. Однако

не определено, поэтому вертикальная линия не имеет наклона.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ЛИНИИ

Рассмотрим линии, показанные на рис. 7.9. Линия l 1 имеет уклон m 1 = 3, а линия l 2 имеет уклон м 2 = 3. В данном случае

Эти линии никогда не пересекаются и называются параллельными линиями. Теперь рассмотрим линии показано на рисунке 7.10. Линия l 1 имеет уклон m 1 = 1/2, а линия l 2 имеет уклон m 2 = -2. В данном случае

Эти линии образуют прямой угол и называются перпендикулярными линиями.

В общем, если две линии имеют уклоны и м2:

    а. Прямые параллельны, если они имеют одинаковый наклон, т. если м 1 = м 2 .
    б. Прямые перпендикулярны, если произведение их наклонов равно -1, то есть если m 1 * m 2 = -1.

7.6 УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ

ФОРМА НАКЛОНА

В разделе 7.5 мы нашли наклон прямой по формуле

Допустим, мы знаем, что линия проходит через точку (2, 3) и имеет наклон 2.Если обозначить любую другую точку на прямой как P(x, y) (см. рис. 7.1, а), то наклоном формула

Таким образом, уравнение (1) есть уравнение прямой, проходящей через точку (2, 3) и имеет наклон 2,

В общем случае допустим, что мы знаем, что линия проходит через точку P 1 (x 1 , y 1 и имеет склон м. Если обозначить любую другую точку на прямой как P(x, y) (см. рис. 7.11, б), через формула уклона

Уравнение (2) называется точечно-наклонной формой для линейного уравнения.В уравнении (2) m, x 1 и y 1 известны, а x и y являются переменными, представляющими координаты любую точку на линии. Таким образом, всякий раз, когда мы знаем наклон линии и точки на линии, мы можем найти уравнение линии, используя уравнение (2).

Пример 1

Линия имеет наклон -2 и проходит через точку (2, 4). Найдите уравнение прямой.

Решение
Подставьте -2 вместо m и (2, 4) вместо (x 1 , y 1 ) в уравнении (2)

Таким образом, линия с наклоном -2, проходящая через точку (2, 4), имеет уравнение у = -2х + 8.Мы могли бы также записать уравнение в эквивалентных формах y + 2x = 8, 2х + у = 8 или 2х + у — 8 = 0,

ФОРМА ОТКЛОНА

Теперь рассмотрим уравнение линии с наклоном m и точкой пересечения с осью b, как показано на рис. Рисунок 7.12. Подстановка 0 вместо x 1 и b вместо y 1 в линейной линейной форме точки-наклона уравнение, у нас есть

у — б = т(х — 0)
у — б = тх

или

у = мх + б

Уравнение (3) называется формой пересечения наклона для линейного уравнения.Наклон и y-пересечение можно получить непосредственно из уравнения эта форма.

Пример 2. Если линия имеет уравнение

, то наклон линии должен быть равен -2, а точка пересечения с осью Y должна быть равна 8. Аналогично, график

у = -3х + 4

имеет наклон -3 и точку пересечения с осью Y 4; и график

имеет наклон 1/4 и точку пересечения -2.

Если уравнение не записано в форме x = mx + b и мы хотим знать наклон и/или y-отрезок, мы перепишем уравнение, решив для y через x.

Пример 3

Найдите наклон и точку пересечения по оси y 2x — 3y = 6.

Решение
Сначала мы определяем у через х, добавляя -2x к каждому элементу.

2x — 3y — 2x = 6 — 2x
— 3y = 6 — 2x

Теперь, разделив каждый элемент на -3, мы получим

.

Сравнивая это уравнение с формой y = mx + b, заметим, что наклон m (наклон коэффициент x) равен 2/3, а точка пересечения с y равна -2.

7.7 ПРЯМОЕ ИЗМЕНЕНИЕ

Частный случай уравнения первой степени с двумя переменными задается выражением

.

y = kx (k — константа)

Такая связь называется прямой вариацией.Мы говорим, что переменная y меняется прямо как х.

Пример 1

Мы знаем, что давление P в жидкости изменяется прямо пропорционально глубине d ниже поверхность жидкости. Мы можем выразить эту связь символами как

.

Р = кд

В прямом варианте, если мы знаем набор условий для двух переменных и если мы также знаем другое значение для одной из переменных, мы можем найти значение вторая переменная для этого нового набора условий.

В приведенном выше примере мы можем найти константу k, чтобы получить

Поскольку отношение P/d является постоянным для каждого набора условий, мы можем использовать пропорцию решать задачи, связанные с прямой вариацией.

Пример 2

Если давление P изменяется прямо как глубина d, и P = 40, когда d = 10, найти P, когда д = 15,

Решение
Поскольку отношение P/d постоянно, мы можем подставить значения P и d и получить пропорция

Таким образом, P = 60 при d = 15.

7.8 НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

В разделах 7.3 и 7.4 мы построили графики уравнений с двумя переменными. В этом разделе мы построит график неравенств с двумя переменными. Например, рассмотрим неравенство

у ≤ -х + 6

Решения представляют собой упорядоченные пары чисел, которые «удовлетворяют» неравенству.То есть, (a, b) является решением неравенства, если неравенство является истинным утверждением после того, как мы подставьте а вместо х и b вместо у.

Пример 1

Определить, является ли данная упорядоченная пара решением уравнения y = -x + 6.

а. (1, 1)
б. (2, 5)

Решение
Упорядоченная пара (1, 1) является решением, потому что, когда 1 заменяется на x и 1 заменяем у, получаем

(1) = -(1) + 6 или 1 = 5

, что является верным утверждением. С другой стороны, (2, 5) не является решением, поскольку при 2 вместо x и 5 вместо y, мы получаем

(5) = -(2) + 6 или 5 = 4

, что является ложным утверждением.

Чтобы построить график неравенства y = -x + 6, мы сначала нарисуем уравнение y = -x + 6. показано на рисунке 7.13. Обратите внимание, что (3, 3), (3, 2), (3, 1), (3, 0) и т. д., связанные с точками, которые находятся на линии или ниже, являются решениями неравенства y = -x + 6, тогда как (3,4), (3, 5) и (3,6), связанные с точками выше линии не являются решениями неравенства. В самом деле, все упорядоченные пары, связанные с точки на линии или ниже являются решениями y = — x + 6. Таким образом, каждая точка на или ниже линии на графике.Мы представляем это, затеняя область ниже линии (см. рис. 7.14).

В общем случае для построения графика неравенства первой степени с двумя переменными вида Ax + By = C или Ax + By = C, мы сначала наносим на график уравнение Ax + By = C и затем определите, какая полуплоскость (область выше или ниже линии) содержит решения. Затем мы заштриховываем эту полуплоскость. Мы всегда можем определить, какая половина плоскость заштриховать, выбрав точку (не на линии уравнения Ax + By = C) и проверить, является ли упорядоченная пара, связанная с точкой, решением задачи заданное неравенство.Если это так, мы заштриховываем полуплоскость, содержащую контрольную точку; в противном случае, заштриховываем другую полуплоскость. Часто (0, 0) является удобной контрольной точкой.

Пример 2

График 2x+3y = 6

Решение
Сначала нарисуем прямую 2x + 3y = 6 (см. график a). Используя исходную точку в качестве контрольной точки, мы определяем, является ли (0, 0) решением 2x + 3y ≥ 6. Поскольку утверждение

2(0) + 3(0) = 6

ложно, (0, 0) не является решением и мы заштриховываем полуплоскость, не содержащую происхождение (см. график б).

Когда линия Ax + By = C проходит через начало координат, (0, 0) не является допустимым тестом точка, так как она находится на линии.

Пример 3

График у = 2x.

Решение
Начнем с построения графика линии y = 2x (см. график a). Так как линия проходит через начала координат, мы должны выбрать другую точку не на линии в качестве нашей контрольной точки. Мы будем используйте (0, 1). Начиная с заявления

(1) = 2(0)

верно, (0, 1) — решение, и мы заштриховываем полуплоскость, содержащую (0, 1) (см. график б).

Если символ неравенства ‘ , точки на графике Ax + By = C не являются решениями неравенства. Затем мы используем пунктирную линию для графика Топор + В = С.

ОБЗОР ГЛАВЫ

  1. Решением уравнения с двумя переменными является упорядоченная пара чисел. в упорядоченная пара (x, y), x называется первой компонентой, а y называется второй составная часть. Для уравнения с двумя переменными переменная, связанная с первой компонент решения называется независимой переменной, а переменная связанная со вторым компонентом, называется зависимой переменной.Обозначение функции f(x) используется для обозначения алгебраического выражения в x. Когда х в символ f(x) заменяется конкретным значением, символ представляет собой значение выражения для этого значения x.

  2. Пересечение двух перпендикулярных осей в системе координат называется происхождение системы, и каждая из четырех областей, на которые разделена плоскость называется квадрантом. Компоненты упорядоченной пары (x, y), связанные с точки на плоскости называются координатами точки; х называется абсциссой точки, а y называется ординатой точки.

  3. График уравнения первой степени с двумя переменными представляет собой прямую линию. То есть каждый упорядоченная пара, являющаяся решением уравнения, имеет график, лежащий на прямой, и каждой точке прямой соответствует упорядоченная пара, являющаяся решением уравнения уравнение.

    Графики любых двух решений уравнения с двумя переменными можно использовать для получить график уравнения. Однако два решения уравнения в двух переменные, которые обычно легче всего найти, это те, в которых либо первая, либо второй компонент равен 0.Координата x точки пересечения прямой с осью x. называется точкой пересечения х линии, а координатой у точки, где прямая пересекает ось у, называется пересечением линии. Использование перехватов для построения графика уравнение называется методом перехвата построения графика.

  4. Наклон линии, содержащей точки P 1 (x 1 , y 1 ) и P 2 (x 2 , y 2 90 )03 определяется формулой

    Две линии параллельны, если они имеют одинаковый наклон (m 1 = m 2 ).

    Две прямые перпендикулярны, если произведение их наклонов равно -l(m 1 * m 2 = -1).

  5. Точечно-наклонная форма линии с наклоном m и проходящей через точку (x 1 , y 1 )

    у — у 1 — м(х — х 1 )

    Форма пересечения наклона линии с наклоном m и пересечением y b равна

    у = мх + б

  6. Связь, определяемая уравнением вида

    y = kx (k константа)

    называется прямой вариацией.

  7. Решением неравенства с двумя переменными является упорядоченная пара чисел, которая, при подстановке в неравенство делает неравенство верным утверждением. график линейного неравенства с двумя переменными является полуплоскостью. Символы, представленные в этой главе, появляются на внутренней стороне передней обложки.

Использование инженерного калькулятора: Просмотр на одной странице

Если не указано иное, авторское право © Открытый университет, 2022 г., все права защищены.
Создана страница для печати Четверг, 21 Апр 2022, 06:28

Введение

Курс описывает некоторые из основных функций калькулятора для научных расчетов и предлагает вам использовать калькулятор как для повседневных арифметических действий, так и для более сложных вычислений, которые используют также функциональные клавиши. Последовательности клавиш, которые описывают, какие клавиши нажимать, включены во все действия, поэтому вы можете сразу опробовать идеи.

Из-за большого количества доступных научных калькуляторов в рамках данного курса мы сосредоточимся на модели Casio fx-83ES.Другие калькуляторы могут работать иначе, чем методы, описанные в этом курсе.

Этот калькулятор используется на курсах Открытого университета Начиная с математики (Y182) и Знакомство с математикой t ics (MU123), но также может быть полезен для многих других курсов, требующих использования инженерного калькулятора .

Этот курс OpenLearn представляет собой адаптированный отрывок из курса Открытого университета MU123 Discovering Mathematics .

Результаты обучения

После изучения данного курса вы должны уметь:

  • понимать основные функции вашего калькулятора

  • понимать, какие функции калькулятора необходимы для решения данной задачи ошибаться при вводе вычислений и знать, как их исправить

  • применять знания функций калькулятора к ряду математических вычислений.

1 Знакомство с калькулятором

Первые 11 разделов описывают, как пользоваться калькулятором и выполнять различные виды расчетов.Раздел 12 содержит справочное руководство по калькулятору, к которому вы можете обращаться по мере необходимости для некоторых основных последовательностей клавиш.

Этот курс не является исчерпывающим списком всех возможностей калькулятора. Если вы используете другой калькулятор, вам следует использовать соответствующие функции вашего собственного калькулятора для выполнения действий, описанных в этом руководстве. Для этого вам может понадобиться обратиться к руководству по эксплуатации вашего калькулятора.

Вы можете загрузить руководство для своего калькулятора с веб-сайта производителя.

Первый шаг к эффективному использованию калькулятора — убедиться, что вы знакомы с расположением клавиш на клавиатуре и понимаете информацию на дисплее.

На рис. 1 показаны различные части калькулятора Casio fx-83ES.

Рис. 1 Типичный научный калькулятор

Если вы используете другую модель калькулятора, убедитесь, что вы можете определить аналогичные функции в вашей модели.

Калькулятор включается клавишей в правом верхнем углу клавиатуры.На рис. 2 показаны различные элементы дисплея этого калькулятора.

В этом разделе клавиши калькулятора будут обозначаться с помощью символа на клавише, заключенного в рамку, например .

Рисунок 2 Дисплей калькулятора

Нижняя половина клавиатуры содержит цифровые клавиши, клавиши для основных операций сложения, вычитания, деления и умножения, а также клавишу, которая нажимается, когда вы хотите, чтобы калькулятор отобразил результат введенного вами расчета.Клавиши, используемые для вставки скобок в вычисления, находятся в центре строки над цифровыми клавишами.

Многие клавиши калькулятора можно использовать более одного раза. Основная функция клавиши напечатана белым цветом на самой клавише. Вторая функция клавиши напечатана желтым цветом над клавишей, и доступ к ней осуществляется путем нажатия кнопки перед нажатием клавиши. Когда вы нажимаете кнопку, в левом верхнем углу экрана калькулятора появляется символ «», чтобы напомнить вам, что кнопка была нажата.Он исчезает при нажатии другой клавиши. У некоторых клавиш также есть третья функция, напечатанная над клавишей красным цветом. Эти функции позволяют использовать числовые значения, хранящиеся в памяти калькулятора, в расчетах, и доступ к ним осуществляется нажатием кнопки перед соответствующей клавишей. При нажатии кнопки в верхней части дисплея калькулятора отображается символ «». Вы узнаете, как использовать память калькулятора, позже в разделе 4.

В руководстве по калькулятору эта вторая функция описывается как «альтернативная» функция клавиши.

Доступ к некоторым операциям калькулятора осуществляется через систему меню, отображаемых на экране калькулятора, как показано на рис. 3. Требуемый пункт меню выбирается нажатием цифровой клавиши, связанной с параметром, как показано на экране калькулятора.

Рисунок 3 Типичное экранное меню калькулятора

При описании того, как использовать различные функции калькулятора, в этом руководстве указаны точные клавиши, которые необходимо нажимать, используя символы, показанные на клавишах.Это известно как «ключевая последовательность». Если последовательность клавиш обращается ко второй функции клавиши или функции из меню, имя этой функции будет дано в скобках в соответствующей точке последовательности клавиш. Таким образом, имена в скобках не являются клавишами, которые вы нажимаете, а просто описывают функцию, доступ к которой осуществляется с помощью предыдущей последовательности клавиш. Например, чтобы выключить калькулятор, нажмите (ВЫКЛ). В этом обозначении (ВЫКЛ.) — это не клавиша, которую вы нажимаете, а название второй функции клавиши, доступ к которой осуществляется с помощью клавиши.

Калькулятор имеет множество режимов работы, которые влияют на ввод и отображение математических данных. Они будут описаны позже в этом руководстве, но прежде чем двигаться дальше, вы должны сбросить настройки калькулятора на настройки курса по умолчанию.

Задание 1 Инициализация калькулятора

Чтобы инициализировать калькулятор с настройками курса по умолчанию, включите его и затем введите следующие две последовательности клавиш:

(CLR) (Настройка) (Да)

(НАСТРОЙКА) (Норма)

Обратите внимание, что в первой последовательности клавиш «CLR» (сокращение от «очистить») — это вторая функция клавиши, а «Setup» — название параметра экранного меню, соответствующего клавише.«Да» — это название параметра экранного меню, соответствующего клавише. Эта последовательность клавиш очищает все предыдущие настройки калькулятора.

Во второй последовательности клавиш «SETUP» — это название второй функции клавиши, а «Norm» (сокращение от «normal») — это параметр экранного меню, соответствующий клавише. Нажатие клавиши выбирает режим «Обычный 2», который будет описан более подробно в разделе 5.

Обратите внимание на разницу между «НАСТРОЙКА», второй функцией клавиши, и пунктом меню «Настройка».

Теперь ваш калькулятор будет работать в режиме «Математика», а слово «Математика» будет отображаться в правой части верхней части дисплея калькулятора, как показано на рис. 4 ниже. Режим «Математика» — это рекомендуемый способ использования вашего калькулятора во время этого курса, поскольку он позволяет вводить и отображать математику так же, как вы пишете ее на бумаге.

1.4 Внесение исправлений

Если вы допустили ошибку при вводе последовательности клавиш в калькулятор, вы можете использовать средства редактирования, чтобы исправить свою ошибку.

Кнопки и на большой кнопке управления курсором позволяют перемещать курсор (отображаемый на дисплее как « ») в пределах вычислений на экране калькулятора. Затем символы можно вставлять в место курсора, просто нажимая соответствующие кнопки, а элементы слева от курсора можно удалять с помощью клавиши. Это можно сделать как до, так и после нажатия клавиши. Чтобы переоценить отредактированный расчет, просто нажмите в любое время.

В некоторых случаях, однако, может быть проще отказаться от того, что вы набрали, и начать заново, нажав клавишу «все очистить»!

Если при вводе вычисления в калькулятор допущена серьезная ошибка, это может вообще помешать вычислению ответа, поскольку вычисление может не иметь математического смысла.В таких случаях отображается «Синтаксическая ошибка», как показано на рис. 6. На экране «Синтаксическая ошибка» есть две опции:

  • Нажмите, чтобы отказаться от вычисления и очистить экран
  • , нажмите или или , чтобы вернуться к ошибочному вычислению с помощью курсор редактирования находится в месте ошибки, готовый к исправлению

Другие типы ошибок калькулятора, с которыми вы можете столкнуться: невозможно вычислить результат, например, при попытке деления на ноль или когда результат слишком велик для обработки калькулятором.

  • «Ошибка стека», когда ваши вычисления слишком сложны, чтобы их можно было обработать за один раз — в таких обстоятельствах попробуйте разбить расчет на несколько более простых.
  • В разделе 4 рассматривается, как это можно сделать.

    В этих случаях калькулятор отобразит экран, аналогичный экрану синтаксической ошибки, что позволит вам отказаться от расчета или исправить его.

    Мероприятие 5 Внесение исправлений
    Ответ

    Правильное значение равно 16.Указанная последовательность клавиш не закрывала скобку перед возведением выражения в квадрат, поэтому возводилось в квадрат только число 3, что давало .

    При исправлении выражения убедитесь, что курсор находится сразу после цифры 3 и имеет ту же высоту, что и она, как показано ниже, прежде чем вставлять отсутствующую скобку. В противном случае скоба может быть вставлена ​​внутрь питания.

    Рисунок 7 Курсор, расположенный после 3

    3 Использование калькулятора для дробей

    Когда калькулятор находится в математическом режиме, как рекомендуется, дроби вводятся с помощью кнопки в левом столбце области функциональных клавиш клавиатура калькулятора.При этом на дисплее отображается «шаблон» фракции, как показано на рис. 8 ниже, который содержит поля, которые необходимо «заполнить». При первом нажатии кнопки курсор находится в верхнем поле, готовом для ввода числителя. Чтобы перейти к нижнему полю для ввода знаменателя, используйте клавишу курсора вниз . Если после завершения шаблона необходимо ввести дополнительные части вычисления, правая клавиша курсора может использоваться для выхода из знаменателя при подготовке к вводу остальной части вычисления.

    Рисунок 8 Шаблон дроби

    Помните, что ваш калькулятор находится в математическом режиме, если в верхней части экрана калькулятора отображается слово Math. Если ваш калькулятор не находится в математическом режиме, повторите шаги действия 1.

    Смешанные числа, которые можно ввести аналогичным образом, используя шаблон смешанного числа, полученный с помощью последовательности клавиш . Этот шаблон содержит три поля для заполнения: одно для целой части числа и по одному для числителя и знаменателя дробной части.

    Любые дробные ответы на расчеты будут автоматически отображаться в наименьшем выражении.

    Упражнение 7 Дроби

    Используйте свой калькулятор, чтобы:

    1. выразить в простейшей форме
    2. вычислить 190.

    Вы, наверное, заметили, что результаты обоих этих упражнений отображались на калькуляторе в виде больших дробей. Это поведение калькулятора по умолчанию в математическом режиме. Вы можете переключаться между тяжелой дробью и ее эквивалентом смешанного числа, используя последовательность клавиш .

    Поведение калькулятора по умолчанию можно изменить следующим образом:

    Здесь клавиша используется для доступа к той части экранного меню, которая изначально не видна.

    Упражнение 8 Смешанные числа

    Используйте свой калькулятор, чтобы:

    1. выразить как смешанное число в его простейшей форме
    2. выразить как тяжелую дробь.

    4.1 Повторное использование предыдущего результата

    Альтернативный подход к нашим вычислениям состоит в том, чтобы сначала вычислить знаменатель дроби, а затем разделить на него числитель.

    Вы можете записать ответ на первую часть расчета на бумаге и снова ввести его в калькулятор. Однако возможно, что вы допустили ошибку либо при записи числа, либо при вводе его в калькулятор. Лучшим методом является использование того факта, что калькулятор сохраняет последний рассчитанный ответ, который затем можно вставить в последующее вычисление с помощью клавиши, расположенной внизу клавиатуры.

    Обратите внимание, что ключ запоминает только результат вашего последнего вычисления .

    Действие 11 Сначала снизу!

    С помощью калькулятора вычислите значение знаменателя , затем завершите вычисление, найдя значение до 3 значащих цифр.

    Ответ

    Значение знаменателя 12,566…, а окончательный ответ 0,101 до 3 значащих цифр.

    4.2 Использование памяти калькулятора

    Вариант вышеописанного метода состоит в том, чтобы разбить вычисление на две части и использовать функции памяти калькулятора для сохранения результата первой части.Память калькулятора особенно полезна, когда вы хотите вычислить значения нескольких выражений, имеющих общую часть. Эту общую часть необходимо ввести только один раз, а затем ее значение повторно использовать несколько раз. Например, переписав формулу для объема древесины, содержащейся в бревне, как

    , мы увидим, что независимо от значений и формула всегда требует значения . Если бы мы хотели рассчитать объем древесины, содержащейся в нескольких разных бревнах, было бы эффективно вычислить значение один раз, сохранить его в памяти и повторно использовать это значение в последующих вычислениях.

    Калькулятор имеет несколько различных ячеек памяти. Сначала мы рассмотрим память «M», доступ к которой осуществляется с помощью клавиши (и связанных с ней функций) в правом нижнем углу области функциональных клавиш.

    Перед использованием памяти калькулятора рекомендуется всегда очищать все предыдущие данные, хранящиеся в калькуляторе, с помощью последовательности клавиш (CLR) (Память) (Да) .

    Обратите внимание, что при этом очищаются все памяти калькулятора.

    Чтобы сохранить результат только что вычисленного выражения (т.е. ответ, отображаемый в области вывода экрана калькулятора) в памяти калькулятора «M», используйте последовательность клавиш (STO) (M). Здесь мы используем вторую функцию кнопки (или возврата), которая называется «STO» (или сохранение). После выбора функции сохранения нам нужно сообщить калькулятору, в какой памяти должно быть сохранено значение. Эти ячейки памяти помечены красным цветом на некоторых клавишах калькулятора, а память «M» получается нажатием клавиши. Мы могли бы прочитать последовательность клавиш как «сохранить текущий результат в памяти M».

    После нажатия (или (STO)) на дисплее отображается индикатор RCL (или STO), указывающий на то, что калькулятор ожидает узнать, из какой памяти следует вызвать (сохранить) значение (in).

    Чтобы отобразить текущее содержимое памяти «M», нажмите (M). Значение, хранящееся в памяти, также можно использовать как часть последующего вычисления, вставив «букву» M в соответствующую точку выражения с помощью (M). Например, чтобы найти квадрат значения, хранящегося в настоящее время в памяти «M», мы можем использовать последовательность клавиш (M).

    Если в памяти «M» сохранено значение, в верхней части дисплея отображается индикатор M.

    Упражнение 12 Использование памяти

    Сохраните значение в памяти «M» калькулятора, а затем используйте это сохраненное значение для вычисления 3 значащих цифр.

    4.4 Другие ячейки памяти

    Калькулятор также имеет 6 других ячеек памяти, помеченных буквами «A», «B», «C», «D», «X» и «Y», доступ к которым осуществляется с помощью нескольких клавиш в нижней части экрана. половина области функциональных клавиш калькулятора.Каждое имя памяти печатается красным над клавишей, используемой для доступа к ней.

    Эти ячейки памяти можно использовать точно так же, как память «М», за исключением того, что нет эквивалентов функциям «добавить в память» () и «вычесть из памяти» ((М-)) и нет индикаторы отображения.

    6.2 Вставка отсутствующего корня

    Иногда при вводе в калькулятор выражения, содержащего корни, вы можете случайно забыть нажать соответствующую функциональную клавишу. Однако перемещение курсора в нужную точку и нажатие отсутствующей клавиши, как в разделе 1, не сработает, так как это просто вставит пустой шаблон.

    Если вы хотите отредактировать выражение, чтобы вставить отсутствующий корень, сначала переместите курсор в нужное место, то есть слева от числа. Затем активируйте функцию «Вставка», нажав (INS), и, наконец, нажмите соответствующую корневую клавишу.

    7 Тригонометрические коэффициенты на вашем калькуляторе

    Существуют различные единицы измерения угла, одна из которых – градусы. Прежде чем использовать калькулятор для нахождения значений тригонометрических отношений углов, измеренных в градусах, необходимо убедиться, что он настроен на использование правильных единиц измерения.

    Перед использованием тригонометрических соотношений всегда проверяйте, использует ли ваш калькулятор правильную систему измерения углов.

    Ваш калькулятор настроен на использование градусов, если индикатор дисплея отображается в верхней части экрана. Если вы видите индикатор или , ваш калькулятор настроен на использование других единиц измерения углов.

    Рисунок 9 Установка градусов

    Чтобы настроить калькулятор на работу в градусах, используйте последовательность клавиш (SETUP) (Deg).

    Чтобы вычислить синус, косинус или тангенс угла, нажмите клавишу или и введите величину угла.Обратите внимание, что клавиши и автоматически открывают для вас скобку. Если вы просто вычисляете синус, косинус или тангенс угла, просто нажмите после ввода угла — скобку закрывать не нужно. Если вы используете эти коэффициенты как часть более крупного расчета, вам нужно будет не забыть закрыть скобку самостоятельно (нажав ) перед вводом оставшейся части расчета.

    Некоторые старые модели калькуляторов требуют, чтобы сначала вводился угол, а затем кнопка , или .

    Упражнение 16 Тригонометрические отношения на калькуляторе

    Из ответа на часть (3) вы заметите, что калькулятор отображает отношения некоторых углов в виде дробей, где необходимо, с использованием сурдов, а не в десятичной форме.

    Десятичную форму можно найти с помощью или .

    12 Справочное руководство по калькулятору

    Режимы калькулятора

    Общие режимы

    Калькулятор может работать в нескольких различных режимах: TABLE, который используется для создания таблиц чисел.

    COMP — это сокращение от «вычисление», а STAT — это сокращение от «статистика».

    Режим компенсации выбирается с помощью последовательности клавиш (COMP).

    Математические режимы

    Существует два различных способа ввода и отображения математических данных на калькуляторе:

    Проще говоря, иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде простой дроби.

    Вы знаете, что находитесь в математическом режиме, если слово Math отображается справа в верхней части экрана калькулятора.Если это не показано, вы используете линейный режим.

    В математическом режиме вы можете принудительно отображать ответ в виде десятичного числа с помощью , или вы можете переключаться между математическим и десятичным выводом с помощью .

    Режимы отображения дробей

    Калькулятор можно настроить таким образом, чтобы ответы, представляющие собой дроби с большими числами (например, ), всегда отображались в виде смешанных чисел (например, ).

    Режимы отображения десятичных чисел

    Калькулятор можно настроить на отображение десятичных чисел различными способами:

    12.1 Индикаторы дисплея

    Это символы, отображаемые на дисплее калькулятора для обозначения его текущего рабочего состояния.

    Символ на дисплее Значение

    Клавиша нажата.

    Клавиша нажата.

    M

    Значение хранится в памяти «M».

    STO

    Нажата клавиша STORE ((STO)).

    RCL

    Была нажата клавиша RECALL ().

    Калькулятор настроен на измерение углов в градусах.

    Калькулятор настроен на измерение углов в радианах.

    Калькулятор настроен на измерение углов в градусах.

    FIX

    Калькулятор настроен на отображение ответов с фиксированным числом знаков после запятой.

    SCI

    Калькулятор настроен на отображение ответов в экспоненциальном представлении с фиксированным количеством значащих цифр.

    Математика

    Калькулятор настроен на использование математического режима для ввода и отображения.

    STAT

    Калькулятор находится в режиме статистики.

    Доступно больше информации, чем может быть отображено, и к ней можно получить доступ с помощью клавиш курсора вверх/вниз.

    Отображаемая строка длиннее, чем может поместиться на дисплее. Другие части строки можно отобразить, прокручивая их с помощью клавиш курсора влево/вправо: и .

    12.2 Общие операции

    Память A, B, C, D, X, Y используется аналогично памяти M, за исключением того, что у них нет функций «добавлять» и «вычитать из».

    12.3 Введение в математику

    Заключение

    Этот бесплатный курс представляет собой введение в изучение математики и статистики.Вы прошли серию упражнений, разработанных для развития вашего подхода к учебе и обучению на расстоянии, и помогли повысить вашу уверенность в качестве независимого ученика.

    Продолжайте учиться

    Изучите еще один бесплатный курс

    В OpenLearn есть более 800 курсов на выбор по различным предметам.

    Узнайте больше обо всех наших бесплатных курсах.

    Продолжайте учиться

    Узнайте больше об обучении в Открытом университете, посетив наш онлайн-проспект.

    Если вы новичок в университете, вас могут заинтересовать наши курсы доступа или сертификаты.

    Что нового в OpenLearn?

    Подпишитесь на нашу рассылку или просмотрите образец.

    Благодарности

    Выражаем признательность следующим лицам:

    Изображение курса: kaboompics.com в Pexels доступно под лицензией Creative Commons Public Domain 1.0.

    Рисунок 1: © Casio Electronics Co Ltd.

    Не пропустите:

    Если чтение этого текста вдохновило вас узнать больше, возможно, вам будет интересно присоединиться к миллионам людей, которые откроют для себя наши бесплатные учебные ресурсы и квалификации, посетив Открытый университет — www.open .edu/ openlearn/ free-courses

    50/30/20 Калькулятор бюджета — NerdWallet

    Независимо от того, используете ли вы приложение или рабочий лист бюджета, чтобы контролировать свои расходы, вам нужно знать, куда уходят ваши деньги — а затем составьте план того, куда вы хотите, чтобы он пошел.

    Бюджет 50/30/20 — хороший инструмент для этого.

    Воспользуйтесь нашим калькулятором, чтобы оценить, как вы можете разделить свой ежемесячный доход на потребности, желания и сбережения. Это даст вам общее представление о ваших финансах. Самая важная цифра — самая маленькая: 20%, предназначенные для сбережений. Как только вы достигнете этого, возможно, с помощью пенсионного плана, спонсируемого работодателем, и других автоматических ежемесячных переводов сбережений, остальное — этот большой кусок в 80% — станет предметом обсуждения.

    Остается 50% на нужды и 30% на желания, но эти параметры вы можете настроить в соответствии со своей реальностью.Например, если вы живете на рынке дорогого жилья, ваш ежемесячный платеж по ипотеке или арендной плате может немного отразиться на вашем бюджете «желаний». Бюджеты должны сгибаться, но не ломаться.

    Калькулятор бюджета 50/30/20

    Наш калькулятор 50/30/20 делит ваш доход на руки на рекомендуемые расходы по трем категориям: 50% чистой оплаты на нужды, 30% на нужды и 20% на сбережения и погашение долга.

    Узнайте, как этот бюджетный подход применим к вашим деньгам.


    Сбережения и погашение долгов

    $0

    Знаете ли вы свои «желательные» категории?

    Отслеживайте тенденции ежемесячных расходов, чтобы анализировать потребности и желания.

    Что такое бюджет 50/30/20?

    Правило 50/30/20 — это популярный метод составления бюджета, который разделяет ваш ежемесячный доход на три основные категории. Вот как это выглядит:

    Ежемесячный доход после уплаты налогов. Эта цифра является вашим доходом после вычета налогов. Скорее всего, у вас будут дополнительные отчисления из заработной платы для таких вещей, как медицинская страховка, взносы 401 (k) или другие автоматические выплаты, взимаемые с вашей зарплаты.Не вычитайте их из своего валового (до налогообложения) дохода. Если вы объединили их со своими налогами, вы захотите их отделить — вычтите только налоги из своего валового дохода.

    50% вашего дохода: потребности. Предметы первой необходимости — это расходы, которых вы не можете избежать. Эта часть вашего бюджета должна покрывать необходимые расходы, такие как:

    • Минимальные платежи по кредиту. Все, что выходит за рамки минимума, идет в корзину для сбережений и погашения долгов.

    • Уход за детьми или другие расходы, которые необходимо покрыть, чтобы вы могли работать.

    30% вашего дохода: хочет. Различить потребности и желания не всегда легко, и это может варьироваться от одного бюджета к другому. Однако, как правило, желания — это дополнения, которые не являются необходимыми для жизни и работы. Они часто предназначены для развлечения и могут включать:

    20% вашего дохода: сбережения и долги. Сбережения — это сумма, которую вы откладываете на будущее. Посвятите эту часть своего дохода погашению существующего долга и созданию финансовой подушки.

    То, как именно использовать эту часть вашего бюджета, зависит от вашей ситуации, но, скорее всего, она будет включать:

    • Сбережения на пенсию через 401(k) и, возможно, индивидуальный пенсионный счет.

    • Погашение долга, начиная с высокопроцентных счетов, таких как кредитные карты.

    Получите дополнительную помощь в расчете и отслеживании бюджета

    Знаете ли вы свои категории «желаний»?

    Отслеживайте тенденции ежемесячных расходов, чтобы анализировать потребности и желания.

    Хотите ботанические знания, персонализированные за ваши деньги? Соберите все свои деньги в одном представлении и получайте индивидуальную информацию, чтобы максимально использовать их. Учить больше.

    Инженерные онлайн-калькуляторы, формулы и инструменты Бесплатно

    Для всех калькуляторов требуется браузер с поддержкой JAVA. Дополнительная информация

    Примечание:

    • Многие ссылки сначала открывают веб-страницу с уравнениями. Найдите ссылку «Калькуляторы», чтобы открыть приложение калькулятора.

    • В настоящее время не все веб-страницы открыты для калькулятора, однако в ближайшем будущем соответствующий калькулятор появится.

    • Если у вас есть предложения по инженерному калькулятору, воспользуйтесь формой обратной связи Engineers Edge —> Обратная связь

    ** Искать ТОЛЬКО на этой СТРАНИЦЕ, нажмите на увеличительное стекло **


    Меню структурных деформаций и напряжений

    Калькулятор напряжения изогнутой балки

    Нагрузка в плоскости упругих рам Уравнения прогиба и реакции и калькуляторы для

    Формулы реакции и прогиба и вычислитель для плоскостного нагружения упругих рам

    Уравнения и калькуляторы прогиба плиты и напряжений

    • Калькулятор конструкции консольной балки с фиксированным штифтом

    Общие инженерные приложения и математические калькуляторы

    Формулы для круглых колец, момента, кольцевой нагрузки, радиального сдвига и деформации

    • Круговой кольцевой момент, кольцевая нагрузка и уравнения радиального сдвига и калькулятор № 21 Per.Формулы Роарка для напряжений и формул деформации для круглых колец Раздел 9, Справочные данные, нагрузка и термины нагрузки. Формулы для моментов, нагрузок и деформаций и некоторые избранные числовые значения. Кольцо вращается с угловой скоростью ω рад/с вокруг оси, перпендикулярной плоскости кольца. Обратите внимание на требование симметричности поперечного сечения.

    Свойства сечения Выбранные формы

    • Факторы Марина для скорректированного предела выносливости Утомляемость Предел выносливости ( S’ e ), определенный с использованием уравнения.2, установленный в результате испытаний на усталость стандартного образца для испытаний, должен быть изменен с учетом факторов, которые обычно отличаются для реального элемента машины.
    • Конструктор цилиндрических зубчатых колес и сборок Конструктор цилиндрических зубчатых колес и сборок рассчитывает и моделирует отдельные цилиндрические зубчатые колеса и узлы зубчатых колес.Загрузка файлов доступна с Премиум-аккаунтом.

    Разработка и проектирование зубчатых передач и зубчатых передач

    • Преобразование шага зубчатого колеса На следующих диаграммах размерные данные шага зубчатого колеса преобразуются в следующие: Диаметральный шаг Модуль Круговой шаг
    • Уравнение коэффициента Льюиса Уравнение коэффициента Льюиса получается при рассмотрении зуба как простого кантилевера с контактом зуба на конце, как показано выше.
    • Стандарт шлицевой инженерной формулы ISO 5480 применяется к шлицевым соединениям с эвольвентными шлицами на основе эталонных диаметров для соединения ступиц и валов..
    • Технология теплопередачи

    Калькуляторы для проектирования электроники

    IEEE 1584-2018 Уравнения и калькуляторы

    Производство

    Калькуляторы простых механических рычагов

    Проектирование и проектирование пружин

    Уравнения трения и анализ

    Гражданское строительство

    Установка болтов и резьбы Расчет напряжения/прочности

    Тензодатчик

    Анализ допусков с использованием определения геометрических размеров, определения допусков GD&T и других принципов

    Конструкция управления движением

    Сосуды под давлением и конструкции цилиндрической формы. Расчеты, инженерные уравнения и расчеты

    • Напряжение и прогиб цилиндра с усеченным конусом при равномерной нагрузке на горизонтальную проекционную площадь; тангенциальная поддержка верхней кромки.Уравнение и калькулятор. Пер. Формулы Роарка для напряжения и деформации для мембранных напряжений и деформаций в тонкостенных сосудах высокого давления.

    Жидкости

    • Формула закона Пуазейля и калькулятор Связь между давлением и непрерывным ламинарным потоком жидкости в жесткой трубе описывается законом Пуазейля, который гласит, что скорость потока жидкости Q прямо пропорциональна перепаду давления по длине трубы. трубы и четвертой степени радиуса трубы и обратно пропорциональны длине трубы и вязкости жидкости.

    Припуск на изгиб листового металла

    Пластиковая защелка

    Преобразования, жидкости, крутящий момент, общее

    Решения для треугольников/тригонометрии

    Финансы и прочее

    Калькуляторы параметров сварки и технических данных Главное меню

    Инженерная физика

    Калькулятор уклона дренажной трубы (согласно Международным сантехническим нормам)

    Этот калькулятор уклона дренажной трубы рассчитает уклон и общий уклон (падение) дренажной трубы на заданной длине трубы.

    Внимание, эта страница содержит партнерские ссылки.Если вы покупаете через них, я получаю небольшую комиссию. Если вы решили купить по этим ссылкам, я искренне благодарю вас за вашу поддержку! – Джейк

    КАЛЬКУЛЯТОР УКЛОНА ДРЕНАЖНОЙ ТРУБЫ
     

    Анатомия дренажной трубы

    На следующей диаграмме показаны различные термины, используемые в калькуляторе:

    Как пользоваться калькулятором

    Сначала определите диаметр трубы, с которой вы работаете. Для бытовых моек диаметр сливной трубы чаще всего равен 1.5″ или 2″. Трубы для слива туалета часто имеют диаметр 3 или 4 дюйма. Все светильники в вашем доме будут подключаться к основной дренажной линии, диаметр которой обычно составляет 4 дюйма.

    Если вам нужно узнать толщину, наружный диаметр или внутренний диаметр трубы из ПВХ, воспользуйтесь этим калькулятором.

    Затем измерьте длину трубы, с которой вы работаете. Это позволит рассчитать общее падение трубы (или падение). Если вы просто хотите увидеть требуемый уклон на фут, пропустите этот шаг.

    Нажмите «Вычислить», чтобы увидеть результаты.

    Если вы хотите, чтобы вам было действительно легко получить правильную высоту звука, купите себе цифровой уровень, подобный этому:


    Он автоматически рассчитает угол любой трубы, на которую вы его поместите.

    Международный кодекс сантехники

    Уклоны, указанные в калькуляторе, зависят от диаметра трубы. В Международном сантехническом кодексе указано, какими должны быть эти уклоны.

    По данным Совета по международным правилам, 35 ​​государств следуют Международному кодексу сантехники.Если вы живете в одном из следующих штатов, который не соблюдает IPC, уточните в местном коде штата требуемые уклоны дренажа:

    .

    Аляска — Калифорния — Гавайи — Айдахо — Кентукки — Луизиана — Мейн — Массачусетс — Миннесота — Монтана — Нью-Джерси — Северная Дакота — Орегон — Южная Дакота — Висконсин

    Советы по расчету уклона дренажной трубы

      • Используйте самый длинный уровень, возможный для вашего приложения, для максимальной точности
      • Когда пузырек на уровне находится примерно на 1/4 пути за линией, это примерно 1/4″ наклона.Та же логика с наклоном 1/8″, наклоном 1/16″ и т. д.

    Внутренняя сантехника

      • Сначала установите компоненты из ПВХ/АБС всухую, чтобы обеспечить достаточно места для правильного наклона всей трубы
      • Ознакомьтесь с плюсами и минусами труб из АБС и ПВХ здесь
      • Небольшой поворот концевого фитинга (колено или тройник) может потребоваться для размещения наклонной трубы

    Французские водостоки

      • Чтобы рассчитать гравий для французского дренажа, воспользуйтесь калькулятором французского дренажа
      • .
      • Рассчитав общий уклон трубы, убедитесь, что конец французского водостока будет стекать на дневной свет, а не заканчиваться под землей
      • Сделайте траншею достаточно глубокой, чтобы закопать всю трубу (кроме конца)
      • Взвесьте трубу перед обратной засыпкой, чтобы предотвратить поднятие трубы

    При установке дренажной трубы всегда следите за тем, чтобы она имела надлежащий уклон по всей длине трубы, чтобы предотвратить перегибы и переливы.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.